Hilbertning geometriya asoslari

-4 ABC= 4 A'B'C va 4 ACB = A'CB'

bundan tashqari, mamnun. Shuni ta'kidlash kerakki, Professor Xilbertning ta'riflariga ko'ra, muvofiqlik va simmetriya dastlab farqlanmaydi.
Uyg'unlik aksiomalarining natijalari orasida diqqat barcha to'g'ri burchaklarning uyg'unligi uchun dalilga chaqirilishi mumkin, bu taklif Evklidda to'rtinchi postulat sifatida paydo bo'ladi. Hozirgacha aytib o'tilgan to'rtta aksioma guruhi fazoda, hatto Evklid bo'lmagan fazoda ham harakatni aniqlashga qanday xizmat qilishi aniq. Doira odatiy tarzda aniqlanadi.
V guruhini tashkil etuvchi Arximed aksiomasi (yoki uzluksizlik aksiomasi) barcha 8 chiziqli, 7 tekislik va 5 kosmik aksiomalarda mavjud bo'lgan tizimni to'ldiradi. Bu quyidagicha aytilgan: (V) ruxsat bering Al o'zboshimchalik bilan berilgan ikkita nuqta orasidagi to'g'ri chiziqning istalgan nuqtasi bo'ling a va B ; qurish. nuqtalar a 2, Aa, Ao shunday qilib Al o'rtasida yotadi A va -,42, 112 o'rtasida Al va A3va hokazo va bu segmentlar
hammasi teng; keyin 112, A3, a,, nuqtalar orasida har doim nuqta bo'ladi An shunday qilib B o'rtasida yotadi A va . Aksiomaning ushbu formulasi bizga segmentlarning tengligini umumiy proektsion o'lchov ma'nosida aniqlashga imkon beradigan bo'lsa-da, u oddiy ma'noda to'g'ri chiziqning uzluksizligini o'z ichiga olmaydi ; u faqat segmentlar algebrasi uchun zarur bo'lgan shartni taqdim etadi. Shu munosabat bilan uzluksizlik atamasini ishlatishdan butunlay qochish yaxshi bo'lar edi ; haqiqatan ham Arximed aksiomasi bizni uzluksizlik aksiomasini aniq kiritish zaruratidan xalos qilmaydi, shunchaki bunday aksiomani kiritishga imkon beradi. Shunday qilib, geometriyaning butun sohasi uchun Professor Xilbertning aksiomalar tizimi sumcient emas. Masalan, ushbu tizimdan aylana va to'g'ri chiziq umumiy ikkita nuqtaga yoki bitta nuqtaga yoki hech qanday nuqtaga ega emasligi kelib chiqsa-da, ba'zi nuqtalari ichida va ba'zilari bo'lgan to'g'ri chiziq geometrik ravishda qaror qabul qilish mumkin emas. doira tashqarisida aylana bilan uchrashadi ; boshqa tomondan so'zlar, doira yopiq figurami yoki yo'qmi, hal qilinmagan bo'lib qoladi. Bundan tashqari, masalan, to'g'ri burchakli uchburchakni umuman gipotenuzadan va bir tomondan qurish mumkin emasligi kelib chiqadi.
Yuqorida keltirilgan aksiomalar tizimi o'z-o'zidan izchilmi? Unda hech qanday bayonot yoki bayonotlar mavjud emasmi, ularning qo'llanilishi nihoyat aqlga sig'maydigan yoki o'ziga zid narsaga olib kelishi mumkinmi? Geometriya aksiomalarning cheksiz takroriy qo'llanilishi bilan qurilganligi sababli, qarama-qarshilik faqat bunday dasturni cheksiz takrorlashdan keyin paydo bo'lishi mumkinligi istisno qilinmaydi. J. H. Lambert aksiomalarni son-sanoqsiz usullar bilan birlashtirilishi mumkin bo'lgan ko'plab tenglamalar bilan taqqoslaydi. Professor Xilbert, izchillik masalasini hal qilish uchun, sanab o'tilgan raqamlar ansamblining domenini tasavvur qiladi va nuqtani domenning ikkita raqami bilan, to'g'ri chiziqni uchta raqam nisbati bilan ifodalaydi. Chiziqdagi nuqtalarning tartibi haqidagi ba'zi konventsiyalar yordamida va hokazo., tarjima va aylanish haqida shunday qilib, aksiomalarning barcha beshta guruhi ushlab turadigan geometriya aniqlanadi. Shunday qilib, savol geometriya sohasidan arifmetikaga o'tkaziladi ; geometriyadagi har qanday qarama-qarshilik raqamlarning tasavvur qilingan sohasi arifmetikasida paydo bo'lishi kerak. Ammo savol shunchaki uzatilganligi sababli, xuddi shu muammo arifmetika uchun ochiq bo'lib qoladi. Geometrik domenning o'zida qaror topish va uni kelajakdagi baxtli imkoniyatga qoldirmaslik maqsadga muvofiqdir. Aksiomalar orasida qarama-qarshiliklarning yo'qligi to'g'risida yakuniy qarorning ahamiyati ko'rinib turibdi ; bu ularning o'zaro mustaqilligi haqidagi savoldan ham yuqori.
Hozirgi xotirada muallif parallellarning aksiomasi, uchburchaklar uchun uyg'unlik aksiomasi va Arximed aksiomasi, har biri boshqa guruhlarning aksiomalaridan mustaqilligi haqida. Aksiomalarning o'zaro mustaqilligining butun mavzusini to'liq o'rganish Professor Xilbert tomonidan ma'ruzalar kursida berilgan Evklid geometriyasi 1898-99 yillarda Gyotkttingen universitetida, shu bilan bosma xotirani to'ldiradi. Har bir holatda isbotlash usuli izchil postulatlar tizimi mavjudligini ko'rsatishdan iborat bo'lib, ular yordamida muhokama qilinayotgan aksioma amal qilmaydigan geometriyani qurish mumkin.
Shunday qilib, birinchi guruhning boshqa barcha aksiomalarining aksiomasining (I, 5) mustaqilligini isbotlash uchun Professor Xilbert quyidagicha davom etadi. Yangi geometriyaning nuqtalari Evklid fazosining nuqtalari bo'lsin, bittasi bundan mustasno, O ; tekisliklar tekislik bo'lsin; va yangi geometriyada mavjud bo'lmagan O nuqtasi orqali doiralarni to'g'ri chiziqlar sifatida olaylik. Ushbu geometriya uchun birinchi guruhning barcha aksiomalari beshinchisidan tashqari. Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu fikrlash usulida Evklid fazosining xususiyatlari faqat ma'lum arifmetik munosabatlar uchun qisqartirish yozuvlari sifatida ishlatiladi.
Aksiomalarning mustaqilligi uchun dalillar haqiqiy deb hisoblangan aksiomalar soni qanchalik ko'p bo'lsa, shuncha ko'p ishtirok etadi. Professor Xilbert o'z ma'ruzalarida ushbu savollarni, ayniqsa Evklid bo'lmagan geometriya, ushbu geometriyadagi muvofiqlik teoremalarining isboti va boshqalarni kengroq muhokama qilishga kirishadi.

Anjir. 1.
Samolyot geometriyasini yanada rivojlantirish uchun taniqli ikkita taklif muhim ahamiyatga ega; ushbu haqiqatni tan olish muhim avans sifatida qaralishi kerak. Muallif ushbu takliflarni qisqacha Paskal va Desargues takliflari sifatida bildiradi va ularni quyidagicha shakllantiradi :
Paskalning taklifi: ruxsat bering a, B, C va a', B', C navbati bilan kesishgan ikkita to'g'ri chiziqning har birida har qanday uchta nuqta bo'lsin, barchasi kesishish nuqtasidan farq qiladi; keyin, agar CB BC 'ga parallel va CA' C ' ga parallel, BA^Men AB ga parallel bo'laman.
Desargues taklifi: agar ikkita uchburchak tekislikda har qanday ikkita mos tomon parallel bo'ladigan tarzda joylashgan bo'lsa, unda mos keladigan tepaliklarning qo'shilishlari bir xil nuqtadan o'tadi yoki parallel bo'ladi.
t u Paskal taklifining isboti, tekislik geometriyasi teoremasi sifatida, Arximed printsipi yordamisiz (I, 1) (I, 2), Il, 111 va IV (muvofiqlik aksiomalari) aksiomalari yordamida olinadi. Professor Xilbert tomonidan ushbu taklif uchun berilgan ikkita dalil o'rtasidagi muhim farq shundaki, ikkinchi isbotda barcha muvofiqlik aksiomalari ishlatilmaydi, uchburchaklar uchun muvofiqlik aksiomasi teng yonli uchburchaklar uchun bitta bilan almashtiriladi.

By segmentlar algebrasini ishlab chiqish (Streckenrechnung) Paskalning taklifiga asoslanib, geometriya tizimini qurish uchun ushbu teoremaning haqiqiy importi juda aniq keltirilgan. Xuddi shu chiziqdagi ikkita segmentning yig'indisi odatiy tarzda aniqlanadi, mahsulot quyidagicha aniqlansin : to'g'ri burchakning bir tomonida tepalikdan yotadi o segment a, boshqa segmentlarda 1 va b; keyin chizish la va orqali b ga parallel la; ushbu parallel boshqa tomondan segmentni kesib tashlaydi c (dan hisoblanadi O) bu mahsulot sifatida belgilanadi
a segmentning b segmentiga kirishi.
Segmentlarning ushbu algebrasida kommutativ va assotsiativ qonunlar, albatta, summa uchun amal qiladi; lekin anjir. 2. ular, shuningdek, ushlab, va bu Paskal ning taklif ma'nosi, ko'paytirish uchun.
Va nihoyat, tarqatish qonuni, ab + ac, xuddi shunday ushlab turadi.
Bu algebra nisbatlar nazariyasi bilan qanchalik chambarchas bog'liqligi aniq. Proporsiyaga ruxsat bering

bu erda a, b, a', b' har qanday segmentlar bo'lib, segmentlar tenglamasiga teng deb ta'riflanadi

Agar shunga o'xshash uchburchaklar odatiy tarzda aniqlansa, professor Xilbert bilan segmentlar algebrasi asosida nisbatlar teoremasining umumiy asosliligini isbotlash oson va bundan keyin to'g'ri chiziq chiziqli tenglama bilan ifodalanganligini ko'rsatish mumkin.
Paskalning proportsiyalar nazariyasi haqidagi taklifidan foydalanish, albatta, muhim yutuq bo'lsa-da, ushbu taklif tomonidan qabul qilingan katta ahamiyatga ega bo'lgan tekislik figuralari sohalari nazariyasi uchun asos sifatida ko'rish hali ham ajablanarli.
Ikki ko'pburchak teng maydonga ega deyiladi (fl rkkkengleich) agar ularni juft bo'lib mos keladigan cheklangan sonli uchburchaklarga hal qilish mumkin bo'lsa. Ular teng tarkibga ega deyishadi (inhaltsgleich) ularga teng maydonli ko'pburchaklarni qo'shish mumkin bo'lganda, shuning uchun paydo bo'lgan yangi ko'pburchaklar teng maydonga ega bo'ladi. Ushbu ikkita ta'rif juda aniq, chunki tergov Arximed aksiomasining asosliligidan mustaqil ravishda olib borilishi kerak. Keyinchalik teng asosli va teng balandlikdagi to'rtburchaklar, parallelogrammalar va uchburchaklar teng tarkibga ega ekanligini isbotlash mumkin. Oxirgi taklifning teskarisi tomonidan hosil qilingan fundamental teorema, ya'ni. , agar teng tarkibli ikkita uchburchak teng asoslarga ega bo'lsa, ular teng balandliklarga ega bo'lishi kerak, bu g'oyani kiritishni talab qiladi maydon o'lchovi (Flpbukchenmass), bu uchburchak holatida asos va balandlikning ko'paytmasining yarmiga teng ; keyin teorema juda aniq isbotlangan, garchi biroz bo'lsa ham uzoq, mulohazalar. Bu natijalar bir nafis dastur nihoyat taklif paydo bo'lib (ilgari boshqa mualliflar tomonidan muhokama):
Agar to'rtburchakni to'g'ri chiziqlar yordamida bir qator uchburchaklarga kesib bo'lgach, ushbu uchburchaklardan birortasi chiqarib tashlansa, qolgan uchburchaklardan to'rtburchakni tuzish imkonsiz bo'ladi.
Desargues taklifiga kelsak, uni i guruhning barcha aksiomalari (shu jumladan kosmik aksiomalar) hamda 11 va Ill guruhlari yordamida osongina isbotlash mumkinligi ma'lum. Ushbu haqiqatni samolyotda Desargues taklifining mavjudligi, agar tekislik geometriyasi qattiq geometriyaning bir qismi yoki tekislik fazoning bir qismi bo'lishi kerak bo'lsa, zaruriy shart deb aytish mumkin. Kosmik aksiomalarni qoldirib, yuqorida nomlangan aksiomalar orasida qolganlar yordamida Desargues taklifini isbotlash mumkin emas. Darhaqiqat, Professor Xilbert shuni ko'rsatadiki, bu taklif hatto tekislik geometriyasida ham to'g'ri bo'lishi mumkin emas alt aksiomalari uchburchaklar uchun muvofiqlik aksiomasidan tashqari ushlab turing. Ushbu dalil katta qiziqish bilan o'qiladichunki u keyingi tekshiruvni taklif qiladigan bunday geometriyani qurishga olib keladi. Biroq, Hilbert tizimining aksiomalari Desargues taklifining haqiqati uchun zarur ekanligi isbotlangan deb hisoblanmasligi kerak ; uning mavjudligi parallellar aksiomasidan mustaqil bo'lishi mumkin emas.
Geometriya tizimidagi Desargues taklifining ahamiyati va uning Paskal taklifiga aloqasi unga asoslangan segmentlar algebrasidan aniq ko'rinadi. Bu. algebra, unda konstruktsiyalar yuqorida aytib o'tilgan algebradan farq qilmaydi, bundan tashqari ixtiyoriy burchak to'g'ri burchak o'rnini egallaydi, assotsiativ va komutativ qonunlar qo'shish uchun ushlab turiladi ; ko'paytirish uchun assotsiativ va taqsimot qonunlari to'g'ri, ammo komutativ qonun emas.
To'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi shaklda topilgan

a, b, C berilgan tizimning segmentlari bo'lib, y Co yokiinatlar ; mahsulotlarda bolta va harflar tartibi bo'yicha muhim ahamiyatga ega. Endi analitik ravishda barcha aksiomalar mavjud bo'lgan qattiq geometriya mumkinligini ko'rsatish mumkin men kasal ushlab turing. Bundan kelib chiqadiki, i guruhning tekislik aksiomalari va Il va Ill guruhlari aksiomalari taxmin qilinmoqda, Desargues taklifining mavjudligi tekislik geometriyasi ushbu aksiomalarga asoslangan qattiq geometriyaning bir qismi bo'lgan zarur va etarli shartdir.
Desargues-ning Paskal taklifi bilan munosabatlarini yanada o'rganish uchun biz desargues teoremasi asosida segmentlar algebrasi yordamida quyidagicha harakat qilishimiz mumkin.
Keling, ixtiyoriy burchakning bir tomonini segmentlarni olaylik

2.