Hilbertning geometriya asoslari

HILBERTNING GEOMETRIYA ASOSLARI.
Grundlagen der Geometrie. Von DR. DAVID HILBERT, o. Professor an der Universität Göttingen. (Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals in Göttingen. Herausgegeben von dem Fest-Comitee.) Leipzig, Teubner, 1899. 8vo, 92 pp.
Gaussveber yodgorligining ochilishiga mas'ul qo'mita Gkatttingen bayramni xotirlash va ikki buyuk ilm-fan dahosiga munosib hurmat sifatida xizmat qilish uchun mo'ljallangan yodgorlik jildini nashr etdi. Ning ikkita professori Gikttingen universiteti ushbu jildda aniq fanlarning asoslari bo'yicha o'z tadqiqotlarini taqdim eting: professor Xilbert geometriya asoslarini davolaydi ; Professor Vixert elektrodinamika asoslarini muhokama qiladi. Ushbu xabarnoma faqat ushbu xotiralarning birinchisi bilan bog'liq.
Bizning kosmik sezgimizni tahlil qilish va tavsiflash geometriyaning ob'ekti. Fazoviy sezgidan mavhumlik ob'ektlarning uchta tizimiga olib keladi: nuqtalar, to'g'ri chiziqlar va tekisliklar, ular bunday sezgi elementlari sifatida kosmosning har qanday tavsifi asosida yotishi kerak. Ta'riflar yordamida ushbu elementlar geometriya umumiy qonunlarni o'rnatishga intiladigan ma'lum korrelyatsiyalarga keltiriladi. Shu tarzda mantiqiy izchil takliflar tizimini olish uchun aksiomalar deb ataladigan ba'zi talablar elementlar o'rtasidagi barcha tasavvur qilinadigan o'zaro munosabatlar tomonidan qondirilishi kerak.
Geometriya aksiomalari orasida ikki turni ajratish mumkin: pozitsiya aksiomalari va kattalik aksiomalari. Aksiomalar darhol umumiy kuchga ega bo'lishi va bir-biridan mustaqil, yanada qisqartirilmaydigan va boshqasi bilan qarama-qarshi bo'lmagan takliflar tizimini shakllantirishi kerak. Faqat shunday aksiomalar asosida har qanday geometrik ta'rif mumkin ; ya'ni ta'rif, agar u o'ychan bo'lsa, aksiomalardan uning haqiqiy tarkibga ega ekanligini ko'rsatish mumkin bo'lgandagina o'z ma'nosini oladi. Ushbu talablarga qo'shimcha ravishda aksiomalar tizimidan oddiy bo'lishi, boshqacha qilib aytganda, elementlar o'rtasidagi munosabatlarni o'rnatish va keskin cheklash uchun mumkin bo'lgan eng kam sonli takliflardan foydalanishni talab qilish mumkin, aksiomalarning hech biri ortiqcha emas, ya'ni. boshqalar har qanday. Aksiomalar tizimining to'liqligi talabining qo'shilishi faqat ma'lum maqsadga nisbatan ma'noga ega bo'ladi. Tizimdan ma'lum aksiomalarni (Professor Xilbert o'z tadqiqotlarida qayta-qayta qilganidek) ajratib olish va ular yordamida mantiqiy izchil tizimni tashkil etuvchi va hech qanday qarama-qarshiliklarga olib kelmaydigan geometriyani yaratish mumkin. Biroq, analitik geometriyaning asosini yaratish uchun zarur bo'lgan aksiomalarning to'liq tizimi nima ekanligini so'rash mutlaqo qonuniydir.
Evklidning geometriya tizimi har doim ikki nuqta bo'yicha e'tirozlarga ochiq bo'lgan : parallellik aksiomasini kiritish va nisbatlar va maydonlar haqidagi ta'limot. Ikkinchi nuqta, Evklid davridan beri deyarli takomillashtirilmagan bo'lsa-da, avvalgi tadqiqotlar qanchalik ko'p bo'lganligi ma'lum. Evklidning o'n birinchi aksiomasini uning boshqa aksiomalaridan chiqarish mumkinmi degan savolga nihoyat salbiy javob berildi, Evklid bo'lmagan geometriya Gauss, Lobachevskiy va Bolyay tomonidan qurilgan. Ko'p munozarali muammo bo'yicha eski bahs-munozaralarni yakuniy hal qilishga olib kelgan yangi usullar umuman aksiomalarni tekshirishga nisbatan butunlay yangi qarashlarga olib keldi. Ular Riemann, Helmholtz va Lie uchun geometriyani analitik asosda topishga imkon berishdi, bu usul Evkliddan juda farq qiladi. tomonidan konsey Ving kosmik raqamlar ko'p qirrali bo'lib, ushbu mualliflar bir qator geometrik aksiomalarni bir vaqtning o'zida ularni batafsil o'rganish zaruratisiz tasarruf etishadi. Ushbu analitik urinishlardan keskin farqli o'laroq, bizda Professor Veronese va Professor Xilbertning tadqiqotlari bor:
Evklid geometriyasi va undan tashqari analitik geometriya uchun tegishli asoslarni yaratish bizning muallifimizning maqsadi. Shunday qilib, uning tizimi kosmosni raqamlar manifoldu deb hisoblash mumkinligini yakuniy tan olish bilan o'z xulosasini topadi. Professor Xilbertning xotirasi alohida avansni belgilaydigan muhim jihatlar orasida men quyidagilarga alohida e'tibor qaratmoqchiman:
(1) muvofiqlik aksiomalarining introd uction va shunga asoslangan harakat ta'rifi; (2) * aksiomalarning o'zaro mustaqilligini tizimli tekshirish •bu mustaqillik o'zlari uchun qiziqarli bo'lgan yangi geometriyalar misollarini ishlab chiqarish orqali isbotlanmoqda; (3) emas printsipi taklifni eng sodda tarzda isbotlash, lekin isbotlash uchun qanday aksiomalar zarur va etarli ekanligini aniq ko'rsatib berish; (4) uzluksizlik aksiomasidan foydalanmasdan nisbatlar va maydonlar nazariyasi va umuman olganda, butun oddiy elementar geometriyani aksiomaga murojaat qilmasdan davolash mumkinligining isboti uzluksizligi; (5) segmentlar uchun turli algebralar (Streckenrechnungen), arifmetikaning asosiy tamoyillari munosabati bilan.
Endi biz alohida fikrlarni muhokama qilishga o'tamiz.
Birinchi bobda barcha aksiomalar beshta asosiy guruhga bo'lingan. I guruh, birikmaning aksiomalarini o'z ichiga olgan (Verkniipfung), ikkita tekislik aksiomasini o'z ichiga oladi, ya'ni: (I, 1) har qanday ikki xil nuqta A va B to'g'ri chiziqni aniqlang a; (I, 2) to'g'ri chiziqning har qanday ikki xil nuqtasi bu chiziqni aniqlaydi; va beshta kosmik aksiomalar (the) faqat butun tizimning kosmik aksiomalari), ya'ni: (I, 3) bir xil to'g'ri chiziqda bo'lmagan har qanday uchta nuqta tekislikni aniqlaydi; (I, 4) bir xil to'g'ri chiziqda emas, balki tekislikning istalgan uchta nuqtasi ushbu tekislikni aniqlang; (I, 5) agar ikkita nuqta bo'lsa to'g'ri chiziq tekislikda yotadi, chiziqning har bir nuqtasi shu tekislikda yotadi; (I, 6) agar ikkita tekislikda umumiy nuqta bo'lsa, ular kamida bitta umumiy nuqtaga ega; (I, 7) har qanday to'g'ri chiziqda kamida ikkita nuqta mavjud, ichida har qanday tekislik to'g'ri chiziqda emas, kamida uchta nuqta va kosmosda tekislikda emas, kamida to'rtta nuqta.
Tartib aksiomalarini (Anordnung) tashkil etuvchi 11-guruh to'g'ri chiziqdagi nuqtalar tartibi haqida to'rtta chiziqli aksiomani o'z ichiga oladi, masalan (11 , 3) to'g'ri chiziqdagi har qanday uchta nuqta orasida har doim bitta va faqat bittasi bor, bu qolgan ikkitasi o'rtasida joylashgan; va bitta samolyot aksiomasi, ya'ni: (11, 5) ruxsat bering A, B, C to'g'ri chiziqda emas, balki uchta nuqta bo'ling va A tekislikdagi to'g'ri chiziq ABC, nuqtalardan birortasini uchratmaslik A, B, C; keyin, agar chiziq bo'lsa a ichidagi nuqtadan o'tadi segment AB, u har doim segmentning bir nuqtasidan o'tadi BC, yoki segmentning bir nuqtasi orqali a C.
,
Ushbu aksiomalar to'g'ri chiziq cheksiz ko'p nuqtalarni o'z ichiga olganligini, tekislikni ikkita mintaqaga ajratishini, uning har qanday nuqtasi chiziqni ikkita yarim nurga bo'lishini ko'rsatish uchun etarli. Ko'pburchaklarni aniqlash mumkin bo'ladi va oddiy ko'pburchak tekislikni ikki mintaqaga ajratishini isbotlash mumkin. Burchakning quyidagi juda qulay ta'rifi bu erda o'z o'rnini topishi mumkin: burchak-bu tekislikda chiqadigan ikkita yarim nurlar tizimi a bir xil nuqtadan O va turli xil to'g'ri chiziqlarga tegishli. Burchakning ichki qismi har qanday ikkita ichki nuqtani birlashtirgan segmentni to'liq o'z ichiga olgan mintaqadir.
Evklidning parallellar aksiomasi (guruh kasal), uning kiritilishi poydevorlarni soddalashtiradi va geometriyani qurishni osonlashtiradi " shaklida berilgan: tekislikda a har doim nuqta orqali chizish mumkin A, to'g'ri chiziqda emas a, bitta va bitta to'g'ri chiziq bilan uchrashmaydi chiziq a.
To'rtinchi guruhda biz segmentlar va burchaklarning tengligi haqidagi aksiomalardan tashqari quyidagilarni topamiz: (IV, 6) agar ikkita uchburchak uchun ABC va A ' B ' C ' tengliklar
AB-A^PB', AC = A'C, BNC ' to'g'ri, keyin mosliklar

1.