Hisoblash matematikasi va axborot tizimlari” kafedrasi Abdulhakimova Dilafruz Hoshimjon qizining

2-masala. fazoda

tenglikni qanoatlantiruvchi = koeffitsiyentlarni toping (agar mavjud bo'lsa).
Bunda - optimal koeffitsiyentlar va unga mos (3)-ayirmali formula oplimal ayirmali formula deyiladi.
Biz ushbu ishda l-masalani yechamiz. (6)-xatolik funksionali normasini hisoblash uchun quyidagi tenglikni qanoatlantiruvchi ve ekstremal funksiyadan foydalanamiz
(9)
bu fazo gilbert fazosi bo'lganligi uchun, unda chiziqli uzluksiz funksionalning umumiy ko'rinishi haqidagi Riss teoremasidan fazosida quyidagi tenglikni qanoatlantiruvchi yagona de funksiya mavjud
(10)

Ushbu ishda asosiy maqsad fazosida -ko'rinishdagi ayirmali formula uchun l-masalani yechishdir.Turli Banax va Gilbert fazolarida kubatur, kvadratur formulalar uchun ekstremal funksiyalarni topib, l-masalani yechish ishlarda qaralgan. Shuni ham ta'kidlash joizki Sobolev fazosida -ko'rinishdagi optimal ayirmali formulalar qurish masalasi, ya'ni l- va 2-masalalar Kh .Shadimetov va R.Mirzakabilovlar tomonidan va ishlarda o'rganilgan. Biz esa keyingi paragrafda fazosida l-masalani to'liq yechamiz.
3 Ayirmali formulaning ekstremal funksiya va xatolik funksionalining normasi
Ushbu paragrafda biz (3)-ayirmali formulaning fazodagi ekstremal funksiyasini topamiz va xatolik funksionalining normasini hisoblaymiz. Shuni ham ta'kidlash kerakki, da kvadratur formulalar uchun topilgan ekstremal funksiya ([12]) ishga qarang) bilan shu fazoda (3)-ayirmali formula uchun ekstremal funksiya ko'rinishlari ustma-ust tushadi. To'lalik uchun biz fazoda (3)-ayirmali formula uchun ekstremal funksiyani (10)-tenglamani yechib topamiz. Buning uchun fazodan olingan istalgan uchun (10)-tenglamani yechib ni topish bilan shug'ullanamiz. (10)-tenglamaning o'ng tomonini bo'laklab integrallash orqali, quyidagiga ega bo'lamiz

bunda
(11)
va
(12)
Yuqoridagi natijani (10) ning o'ng tomoniga qo'yib, quyidagi tenglikni olamiz

Demak, uchun quyidagi differensial tenglamaga kelamiz

Endi (13) tenglamani yechish bilan shug'ullanamiz. Ma'lumki, bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi unga mos bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi va bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning xususiy yechimi yig'indisidan iborat. Shuning uchun, avvalo, (13) tenglamaga mos keladigan quyidagi bir jinsli differensial tenglamani ko'rib chiqamiz
.
(14) uchun xarakteristik tenglama ko'rinishda bo'lib, uning yechimlari va . Shunday qilib, umumiy yechim ko'rinishda bo'lib, bu yerda va lar haqiqiy sonlar.
funksiya (11)-(12) shartlarni qanoatlantirganda va ekanini olamiz. (13) tenglamaning xususiy yechimi

bu yerda funksiya differensial tenglamaning yechimi bo'lib u quyidagiga teng
(15)
Demak, quyidagi o’rinli.
1-Teorema. (13) tenglamaning yechimi (3) ayirmali formulaning ekstremal funksiyasi. Bu yerda d va haqiqiy sonlar.
Riss teoremasiga ko’ra xatolik funksionalining normasining kvadrati uchun quyidagi tenglik o’rini

Bunda biz quyidagi natijaga kelamiz.