Hosilaning tasviri va tasvirning hosilasi

Cheksiz hosilalar. Ba’zi nuqtalarda limiti +¥ (-¥) ga teng bo‘lishi mumkin. Bunday hollarda shu nuqtalarda funksiya cheksiz hosilaga ega yoki funksiyaning hosilasi cheksizga teng deyiladi.
Ushbu funksiya uchun Dy/Dx nisbatning Dx®0 dagi limitini qaraylik. Funksiyaning 0 nuqtadagi orttirmasini hisoblaymiz: Dy=Df(0)=f(0+Dx)-f(0)=f(0+Dx)=f(Dx)= .
Funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbati = va bu nisbatning Dx®0 dagi limiti +¥ ga teng.
Demak, funksiya x=0 nuqtada cheksiz hosilaga ega ekan.
Cheksiz hosila uchun ham bir tomonli cheksiz hosila tushunchasini ham qarash mumkin.
Agar y=f(x) funksiya x=x₀ nuqtada +¥ (-¥) hosilaga ega bo‘lsa, u holda
= =+¥ (-¥)
munosabatning o‘rinli ekanligini isbotlash mumkin. Bu tasdiqning teskarisi ham o‘rinli ekanligi o‘z-o‘zidan ravshan.
Berilgan x₀ nuqtada f’(x₀-0)=-¥, f’(x₀+0)=+¥, (f’(x₀-0)=+¥, f’(x₀+0)=-¥) bo‘lishi ham mumkin. Bunday holda f(x) funksiya x=x₀ nuqtada hosilaga (xatto cheksiz hosilaga ham) ega emas deb hisoblanadi.
Misol tariqasida y= funksiyaning x=0 nuqtadagi bir tomonli hosilalarini aniqlaylik. Bu funksiyaning x=0 nuqtadagi orttirmasi Dy(0)= ga teng va = ekanligini ko‘rish qiyin emas. Shu sababli =+¥ va =-¥ bo‘ladi. Demak, y’(-0)=-¥, f’(+0)=+¥ bo‘lib, funksiya x=0 nuqtada cheksiz hosilaga ega emas.

5. 
   Hosilaning geometrik va fizik ma’nolari. Urinma va normal tenglamalari
   

Yuqorida biz, agar y=f(x) funksiya grafigining M₀(x₀;f(x₀)) nuqtasida urinma o‘tkazish mumkin bo‘lsa, u holda urinmaning burchak koeffitsienti k_urinma= ekanligini ko‘rsatgan edik. Bundan hosilaning geometrik ma’nosi kelib chiqadi:

y=f(x) funksiya grafigiga abssissasi x=x₀ bo‘lgan nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsienti hosilaning shu nuqtadagi qiymatiga teng k_urinma=f’(x₀).
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya x=x₀ nuqtada uzluksiz va f’(x₀)=+¥ bo‘lsin. U holda funksiya grafigi abssissasi x=x₀ nuqtada vyertikal urinmaga ega bo‘lib, unga nisbatan funksiya grafigi 7–rasmda ko‘rsatilgandek joylashadi.

7-rasm 8-rasm
Xuddi shu kabi f’(x₀)=-¥ bo‘lganda ham x=x₀ nuqtada funksiya grafigi vyertikal urinmaga ega bo‘ladi, funksiyaning grafigi urinmaga nisbatan 8–rasmda ko‘rsatilgandek joylashadi.
Agar f’(x₀+0)=+¥ va f’(x₀-0)=-¥ bo‘lsa, u holda funksiya grafigining x=x₀ nuqta atrofida 4-rasmda tasvirlangandek bo‘ladi. Xuddi shunga o‘xshash, f’(x₀+0)=-¥ va f’(x₀-0)=+¥ bo‘lganda, funksiya grafigi x=x₀ nuqta atrofida 3–rasmdagidek ko‘rinishda bo‘ladi. Bunday hollarda (x₀,f(x₀)) nuqtada urinma mavjud, ammo hosila mavjud emas.
Agar x=x₀ nuqtada chekli bir tomonli hosilalar mavjud, lekin f’(x₀+0)¹f’(x₀-0) bo‘lsa, u holda funksiya grafigi 5–rasmdagiga o‘xshash ko‘rinishga ega bo‘ladi. (x₀,f(x₀)) nuqta grafikning sinish nuqtasi bo‘ladi.