I- bob. Tеkislikda analitik gеomеtriya

n·m=A(x–x₁)+B( y–y₁)=0 Ax+By+ (–Ax₁ – By₁) =0 Ax+By+C=0.
Bunda n≠0 ekanligidan |n|²=A²+ B² ≠0 bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi teoremaning ikkinchi qismini isbotlaymiz, ya’ni (2) tenglama to‘g‘ri chiziqni ifodalashini ko‘rsatamiz. Buning uchun (2) tenglamani quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
Ax+By+C= Ax+B(y+C/B)=0  А(х–0)+В(у– (–С/В))=0  A(x–x₁)+B( y–y₁)=0.
Bunda x₁=0, y₁=–С/В belgilash kiritildi. Agar n=(А,В) va m=( x–x₁, y–y₁) vеktorlarni qarasak, oxirgi tenglikdan n·m=0, ya’ni bu vektorlar orthogonal ekanligi kelib chiqadi. n=(А,В) vektorga orthogonal bo‘lgan barcha m=(x–x₁, y–y₁) vektorlarning M(x,y) uchlari bir to‘g‘ri chiziqda yotadi. Demak, (2) tenglama M₁(0, –С/В) nuqtadan o‘tuvchi va n=(А,В) vektorga nisbatan pеrpеndikular joylashgan to‘g‘ri chiziqni ifodalar ekan.
3-ta’rif. (2) tenglama tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi deb ataladi. Unda A va B koeffitsiyentlar, C esa ozod had deyiladi.
Teorema isbotidan ko‘rinadiki, (2) tenglama orqali aniqlanadigan n=(A,B) ≠0 vektor bu tenglama ifodalaydigan L to‘g‘ri chiziqqa nisbatan perpendikular bo‘ladi va uning normal vektori deb ataladi.
Masalan, 3x+4y–8=0 tenglama M₁(0,2) nuqtadan o‘tuvchi va n=(3,4) vektorga pеrpеndikular bo‘lgan to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi.
Shunday qilib, biz har qanday to‘g‘ri chiziq tenglamasi (2) ko‘rinishda bo‘lishini (analitik geometriyaning I asosiy masalasi) aniqladik va aksincha, har qanday (2) tenglama biror to‘g‘ri chiziqni ifodalashini (analitik geometriyaning II asosiy masalasi) isbotladik.
Endi tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning (2) umumiy tenglamasini ayrim xususiy hollarini tahlil etib, xulosalar chiqaramiz.

1. 
   Ozod had C=0 bo‘lsin. Bunda (2) tenglama Ax+By=0 ko‘rinishda bo‘ladi. Bu tenglamani O(0,0) nuqta qanoatlantiradi. Demak, Ax+By=0 ko‘rinishdagi tenglamalar koordinatalar boshidan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqlarni ifodalaydi.
   
2. 
   A=0, ya’ni L to‘g‘ri chiziq tenglamasi By+C=0 ko‘rinishda bo‘lsin. Bu holda uning normal vektori n=(0,B) OX . Ammo n=(0,B) L bo‘lgani uchun bu holda L to‘g‘ri chiziq OX koordinata o‘qiga parallel (L || OX) yoki L OY bo‘ladi.
   
3. 
   B=0 holni ko‘ramiz. Bunda tenglama Ax+C=0 ko‘rinishda bo‘lib, n=(A,0) OY . Demak, L || OY yoki L OX bo‘ladi.
   
4. 
   C=0 va B=0 bo‘lsin. Bunda tenglama Ax=0 yoki, A≠0 bo‘lgani uchun (A²+B²≠0 shartga asosan), x=0 tenglamaga kelamiz. Bu tenglama OX koordinata o‘qi joylashgan to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi.
   
5. 
   C=0 va A=0 holda y=0 tenglamaga kelamiz. Bu tenglama OY koordinata o‘qi joylashgan to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi.