I- bob. Tеkislikda analitik gеomеtriya

2-ta’rif: Tekislikdagi chiziqlarni ularning tenglamalari orqali o‘rganuvchi matematik fan analitik gеomеtriya dеb ataladi.
Analitik gеomеtriya asoschisi bo‘lib farang matematigi va faylasufi Rеnе Dеkart hisoblanadi. U kiritgan koordinatalar sistemasi orqali geometrik tushuncha bo‘lgan M nuqta va algebraik tushuncha bo‘lgan sonlar juftligi (x,y) orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatildi. Bu bilan matematikaning ikkita bo‘limi bo‘lmish algebra va geometriya orasida bog‘lanish hosil etildi. Natijada tekislikdagi bir qator geometrik masalalarni algebraik va aksincha, bir qator algebraik masalalarni geometrik usullar bilan oson yechilishiga erishildi.
Tekislikdagi analitik gеomеtriyada asosan ikkita masala qaraladi:

• 
  Berilgan chiziqning tenglamasini topish va bu tenglama asosida uni analitik o‘rganish.
  
• 
  Berilgan tenglamaga mos keluvchi chiziqni aniqlash.
  

Masala: Markazi М(а,b) nuqtada joylashgan R radiusli aylana tenglamasini toping.
Yechish: N(x,y) shu aylanada joylashgan ixtiyoriy nuqta bo‘lsin. Bizga maktabdan tanish bo‘lgan aylana ta’rifiga asosan u |MN|=R shartni qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plamidan (gеomеtrik o‘rnidan) iborat. Unda ikki nuqta orasidagi masofa (III bob,§2, (7)) formulasiga ko‘rа aylananing ushbu tenglamasini hosil etamiz:
. (1)
Masalan, markazi M(2,3) nuqtada joylashgan va radiusi R=5 bo‘lgan aylana (х–2)² + (у–3)² = 25 tenglamaga ega bo‘ladi. Bu yerdan N(5,7) nuqta shu aylanaga tegishli ekanligi kelib chiqadi, chunki (5–2)² + (7–3)² = 25. K(2,6) nuqta aylanada yotmaydi, chunki uning koordinatalari aylananing tenglamasini qanoatlantirmaydi:
(2–2)² + (6–3)² = 925.
Tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi. To‘g‘ri chiziq geometriyaning boshlang‘ich tushunchalaridan biri bo‘lib, u ta’rifsiz qabul etiladi.
Teorema: Tekislikdagi har qanday L to‘g‘ri chiziq tenglamasi
Ax+By+C=0 , A²+B²≠0 (2)
ko‘rinishda, ya’ni I tartibli tenglamadan iborat bo‘ladi. Aksincha, har qanday I tartibli (2) tenglama tekislikda biror to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi.
Isbot: Dastlab teoremaning birinchi qismini o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun tekislikning berilgan L to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘lmagan ixtiyoriy bir M₀ nuqtasini olamiz (19-rasmga qarang).

Bu nuqtadan L to‘g‘ri chiziqqa perpendikular o‘tkazamiz va ularning kesishish nuqtasini M₁(x₁,y₁) deb belgilaymiz. Boshi M₀ , uchi esa M₁ nuqtada bo‘lgan n≠0 vektorni kiritamiz va uning koordinatalarini A va B, ya’ni n=(A,B) deb olamiz. Endi L to‘g‘ri chiziqda yotuvchi ixtiyoriy bir M(x,y) nuqtani olamiz va boshi M₁(x₁,y₁) , uchi esa M(x,y) nuqtada joylashgan m=(x–x₁, y–y₁) vektorni qaraymiz. Bunda M(x,y) nuqta L to‘g‘ri chiziqda yotsa va faqat su holda n va m vektorlar ortogonal bo‘ladi. Vektorlarning ortogonallik shartini koordinatalardagi ifodasidan (III bob,§2) foydalanib, quyidagi natijalarni olamiz: