I bob. Bir o‘zgaruvchili ko‘phadlar halqasi 1-§. Bir o‘zgaruvchili ko‘phadlar

1.3-§. Ko‘phadning ikki hadga bo‘linishi va ko‘phad ildizlari
1.8-ta’rif. Agar butunlik sohasining biror elementi uchun tenlik bajarilsa, u holda element ko‘phadning ildizi deyiladi.
maydon ustida bir noma’lumli birinchi darajali ko‘phad bo‘lganda ratsional sonlar to‘plamida doimo ildizga ega, chunki ya’ni bo‘ladi.
Darajasi bo‘lgan har qanday ko‘phad ildizi yo‘q, chunki ga qanday qiymatni bermaylik, baribir bo‘ladi. Biz nol ko‘phadni e’tiborga olmaymiz, bunday ko‘phad ning har bir qiymatida nolga teng.
1.5-teorema (Bezu teoremasi). ko‘phadni ikkihadga bo‘lishdan chiqqan qoldiq ga teng.
Isboti. Bo‘luvchi ning darajasi 1 ga teng bo‘lgani uchun qoldiq yo nolinchi darajali ko‘phad, yoki nol bo‘lishi kerak, ya’ni
(1.6)
bo‘lib, bu tenglikda desak, ni hosil qilamiz.
1.6-teorema. element ko‘phadning ildizi bo‘lishi uchun ning ikkihadga bo‘linishi zarur va yetarli.
Isboti. 1. Zaruriyligi. ni ning ildizi deylik. Bu holda bo‘ladi. 1.5-teoremaga asosan ni ga bo‘lishdan chiqqan qoldiq ga teng. Lekin bo‘lgani uchun dir. Demak, ko‘phad ikkihadga qoldiqsiz bo‘linadi.
2. Yetarliligi. ko‘phad ga qoldiqsiz bo‘linsin; 1.5-teoremaga ko‘ra . Bunda bo‘lgani uchun . Demak, qiymat ko‘phadning ildizi ekan.
1.7-teorema. Agar lar ko‘phadning turli ildizlari bo‘lsa, u holda ko‘phad ko‘paytmaga bo‘linadi.
Isboti. Teoremaning isbotini matematik induksiya prinsipi asosida olib boramiz da teoremaning rostligini biz yuqorida ko‘rib o‘tdik. Aytaylik, teorema hol uchun rost, ya’ni
(1.7)
bo‘lsin.
Bu tenglikka ni qo‘yamiz. U holda ildiz bo‘lgani tufayli . Demak, da

hosil bo‘ladi. butunlik sohasi nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmaganligidan va shartga asosan , ya’ni son ko‘phadning ildizi ekan. Unda 1.5-teoremaga asosan
(1.8)
bo‘ladi. Endi ni ga qo‘yamiz. U holda

bo‘lib, bu esa ning ga bo‘linishini bildiradi.
Eslatma. ba’zi hollarda bir necha yoki barcha ildizlar ustma-ust tushib qolishi mumkin. Unda formula quyidagi ko‘rinishni oladi.
.
Bunday holdagi va ildizlarni mos ravishda va karrali ildizlar deyiladi.
Natija. Noldan farqli - darajali ko‘phad butunlik sohasida dan ortiq ildizga ega emas.
Bu fikr nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lgan halqada o‘rinli emas. Masalan, modul bo‘yicha tuzilga chegirmalar sinflari halqasida ko‘phad ildizlarga ega.