I bob. Matematika darslarida matematik induksiyaga oid masalalarni yechishning nazariy asoslari

Ishning maqsad va vazifalari.
Umumiy o‘rta ta‘lim maktablarida matematika darslarida induksiya metodining o‘ziga hos tomonlarini ochib berish va takomillashtirish.
Ob’yekti va predmeti.
Umumiy o‘rta ta‘lim maktablarida matematika darslarida induksiya metodi orqali misol va masalalar yechish ko‘nikmasini shakllantirishni usul va vositalarini o‘qitish jarayoni.
Amaliy ahamiyati.
Bitiruv ishi mavzusi talabalarga uslubiy qo‘llanma sifatida foydalanish mumkin.
Ishning tuzilishi.
Bitiruv ishiga kirish, 2 bob, xulosa va adabiyotlar ro‘yxati berilgan.


I.BOB. MATEMATIKA DARSLARIDA MATEMATIK INDUKSIYAGA OID MASALALARNI YECHISHNING NAZARIY ASOSLARI.
1.1. Boʻlinuvchanlik masalalarini yechishda matematik induksiya usuli
Induksiya tushunchasiga o’tishdan avval o’xshatish tushunchasini tahlil etamiz. O’xshatish belgisi qadimgi yunonlarda boshlanishida sonlar proportsiyasi shaklida ifodalangan. Masalan, 50 : 5 =70 : 7. Keyinchalik o’xshatish so’zi shakllarga va boshqa narsalarga ham tatbiq etila boshlandi.
Hozirgi paytda o’xshatish barcha fanlarda xizmat qiladi. Kimyo, biologiya fizika va geologiya fanlarida o’xshatishdan keng foydalaniladi.
Matematikada shunday masalalar mavjudki, ba’zi farazlar yakuniy natijalarga ko’ra, noto’g’ri bo’lib chiqadi. Shunday masalalardan biri 1640 yilida tug’ilgan P.Fermaning o’ziga tegishli hisoblanadi: u fn=2²ⁿ + 1 ko’rinishidagi natural sonlarning barchasi tub son deb faraz qilingan va faqat n = 0, 1, 2, 3, 4 lar uchun tekshirilgan. Lekin 1732 yili Leonard Eyler Pyer Fermaning farazini inkor etdi. Uning xatoligi shunda ediki, fn=2²ⁿ + 1 bir nechta xususiy qiymatlar uchun hisoblab (bu xususiy tasdiq), fn=2²ⁿ + 1 ning qiymati ixtiyoriy n natural son uchun tub son degan umumiy xulosaga kelgan. L.Eyler sodda induksiya xatolikka olib kelishi haqida haqiqatni aytgan.
Matematik induksiya metodi matematikaning turli tuman xatto bir-biridan juda olis sohalarida muvaffaqiyat bilan keng qo’llaniladigan metoddir. Avvalo bu metod o’zining juda sodda bo’lgan g’oyasi bilan e’tiborga sazovordir. Bu metod orqali ayniyatlarni isbotlash va yig’indi hamda ko’paytmalarni hisoblash mumkin.
Demak turli hil ayniyatlarni isbotlashda matematik induksiya metodini qo’llab isbotlangan misollar ko’rib chiqaylik.

1. 
   misol.
   

Matematik induksiya metodidan foydalanib ushbu ayniyatni isbotlash kerak bo’lsin.
1+2+3+…+n=
Bu yerda va bundan keyin misoldagi tasdiqni A(n) deb belgilaymiz.

1. 
   n=1 uchun 1= demak A(1) to’g’ri
   
2. 
   n=k uchun 1+2+3+…+k= deb faraz qilib,
   

n=k+1uchun 1+2+3+…+k+(k+1)= ni isbot qilamiz.

1+2+3+…+k+(k+1)=

Demak, 1+2+3+…+n= dan iborat tasdiq har qanday n natural son uchun to’g’ri deb hulosa chiqaramiz.

2-misol. (Qiziqarli masala). Bir boy dehqonning otini sotib olmoqchi bo’ldi, lekin otning 1000 so’mlik bohosi unga ko’p ko’rindi. Shunda dehqon boyga otning taqqalaridagi mixlarni arzon bahoga sotib olishni, otni esa sovg’a sifatida olib ketishni taklif qildi va mixlarning birinchisiga 1 tiyin, ikkinchisiga 2 tiyin, uchinchisiga 4 tiyin, to’rtinchisiga 8 tiyin va hakazo, har bir keying mixga avvalgisidan ikki baravar ko’p to’lashni so’radi. Boy bu shartga rozi bo’ldi. Har bir taqada 6 ta mix bor. Boy otni necha so’mga sotib olgan?

Yechilishi.
Boy sotib olishi kerak bo’lgan mixlar 24 ta. Mixlarga to’langan pullarni yo-zaylik:

Bu sonlarni quyidagicha ham yozish mumkin:

Bu qatorni ko’zdan kechirsak k mixga tiyin to’laganligini sezamiz. Barcha mixga to’lgan pul:

Ushbu yig’indini hisoblaylik:

Bugeometrikprogressiyantahadiningyig’ondisinitopishformulasigaaso-santopsakhambo’ladi, lekinbizyuqoridagidekinduktivyo’lbilangipotezatuzibkeyinuniisbotlaymiz.
Nga 1,2,3,4,5 qiymatlarnibersak,

Hosil bo’lgan sonlarni 2 ning darajalari bo’yicha yozaylik:

Bulardan ushbu gipotezani aytish mumkin:
(1)
1. gipoteza to’g’ri.
2. o’rinli bo’lsin deb, da bo’lishini isbotlaylik.
Haqiqtdan ham,

tenglik hosil bo’ladi.
Demak (1) o’rinli. Buni ot savdosiga qo’llasak, tiyin yoki 167772 so’m 15 tiyin yani ot bahosidan 150 martadan ham ko’p pul to’lagan.
1.Isbot kilinayotgan tasdik n=1 uchun tekshiriladi. To’g’riligiga ishonch hosil qilingandan so’ng 2 chi etapga o’tiladi.
2.Shu tasdiqni n=k uchun to’g’ri deb olib, 3 chi etapga o’tiladi.
3.Tasdiqn=k+1 uchun to’g’ri ekanligi isbot qilinadi.
Bu metodning qo’llanishiga doir misol qaraymiz.
3-misol.Birinchi n ta toq natural sonlarning yig’indisini toping.
Yechilishi. Izlanayotgan yig’indi bo’lsin:
ga teng ketma-ket 1,2,3,4,… qiymatlar berib, ning mos qiymatlarini topaylik:

Hosil bo’lgan sonlarni kuzatib biror qonuniyat topishga harakat qilaylik. Ularni quyidagicha yozish mumkinligini ko’rish mumkin.

Hosil bo’lgan sonlarga qarab ushbu gipotezani aytish mumkin: birinchi n ta toq natural sonlar yig’indisa uchun

bu gipotezani isbotlaylik:
1. da gipoteza to’gri.
2. uchun o’rinli bo’lsin deb da bo’lishini ko’rsatamiz.
Demak, gipoteza o’rinli.

4-misol.

Tennis sharlari piramida shaklida taxlangan. Ustki qavatda 1 ta, pastki ikkinchi qavatda 4 ta undan pastda 9 ta va hakoxo, eng pastdagi n- qavatda shar bor. Piramidani buzmay nechta shar borligini toping.
Yechilishi.
(2)
Yuqoridagi masalalardagidek induktiv yo’l bilan borib ushu gipotezani tuzish mumkin.
(3)

1. 
   gipoteza o’rinli.
   
2. 
   gipoteza o’rinli bo’lsin, ya’ni
   

bo’lganda



Bo’lishini isbotlaymiz.
(2) da bo’lsin deb induktiv farazni e’tiborga olsak:

Demak, (3) uchun to’g’ri. (2) yig’indini eramizgacha yashagan Arhimed hisoblagan.
5-misol.
yig‘indini hisoblаng.
Yechilishi. Аvvаl bittа, ikkitа, uchtа, to‘rttа qo‘shiluvchilаr uchun yig‘indini hisoblаymiz (induksiya – lotinchа bo‘lib, “hosil qilish”, “yarа-tish” ni аnglаtаdi).




Hаr bir yig‘indini surаti qo‘shiluvchilаr sonigа teng bo‘lib, mаxrаji undаn bittа kаttа. Bu hаr qаndаy n uchun tаxmin qilish imkonini berаdi. Bu tаxminning to‘g‘riligini tekshirishgа mаtemаtik induksiya usulini qo‘llаymiz.

1. 
   n=1 bo`lganda tаxmin to‘g‘ri, yani,
   
2. 
   n=k dа deb tаxmin qilib, n=k+1 uchun bu tаxminning to‘g‘riligini tekshiramiz.
   

Shundаy qilib, n=k uchun to‘g‘riligini fаrаz qilgаn holdа, uni n=k+1 hol uchun isbot qildik, yani formulа bаrchа nаturаl n uchun to‘g‘ri.
6-misol. Quyidagi tenglikni isbotlang :
, buyerda
Yechish : 1) n=1 da tekshiramiz

2) Qaysidirnaturalk –uchun n=k da tenglik o`rinli deb ,n=k+1 uchun
bo`lishini isbotlaymiz
Haqiqatan
Demak,А(k)A(k+1)o`rinli.Matematik induksiya prinsipiga
asosan , buyerda ixtiyoriy n da o`rinli. Matematikinduksiyayordamidaayniyatlarvatengsizliklarnihamisbotlashmumkin: A(n)=V(n)ayniyatniisbotlashuchunoldinA(1)=V(1)ekanigaishonchhosilqilish , so’ngA(n+1)-A(n)=B(n+1)-B(n)yeki ayniyatniisbotqilishkerakbo’ladivaxulosachiqariladi.
Demak, matematik induksiya metodi orqali biz ayniyatlarni isbotlashimiz, yig’indilarni hisoblashimiz va ko’paytmalarni hisoblashimiz mumkin ekan.
Matematikada cheksiz to’plam haqida mulohaza bildirilganda, chekli to’plamni tekshirish isbotlashni almashtira olmaydi.
Shunday qilib, ikkita tushunchani farqlash lozim:

1. 
   Xususiy tasdiq;
   
2. 
   Umimiy tasdiq.
   

Umumiy tasdiqdan xususiy tasdiqga o’tish deduksiya deyiladi.
Misol. Quyidagi tasdiqlardan qaysi bir xususiy, qaysi biri umumiy:
1) Nol raqami bilan tugallanuvchi son 5 ga bo’linadi?
2) 60 soni 5 ga bo’linadi?
Xususiy tasdiqdan umumiy tasdiqga o’tish induksiya deyiladi. Induksiya ham to’g’ri, ham noto’g’ri natijaga olib kelishi mumkin. Induksiya metodi matematikada keng qo’llaniladi, lekin unidan to’g’ri foydalanish lozim.
Xulosa:

1. 
   Barcha nol raqami bilan tugallanuvchi sonlar 5 ga bo’linadi (to’g’ri)
   
2. 
   barcha uch xonali sonlar 5 ga bo’linadi (noto’g’ri).
   

Bu usul hozirgi kunda matematik induksiya metodi deyiladi. Ushbu metodni ba’zi qadimgi grek olimlari ham foydalanishgan. Dastalab bu metod 1321 yil. Gersonid tomonidan foydalanilgan. XIX asrning ikkinchi yarmigacha bu metod asosiy isbotlash metodi hisoblangan.