I bob. Matematika darslarida matematik induksiyaga oid masalalarni yechishning nazariy asoslari

1.2.Matematik induksiya metodi haqida ma’lumotlar.
Induktiv usul mаtemаtikаdа qаdim zаmonlаrdаn qo‘llаnilаdi. Аk-sаr hollаrdа nаtijа xаto bo‘lib chiqаdi. XVII аsrning o‘rtаlаrigа kelib, bundаy noto‘g‘ri mulohаzаlаr ko‘plаb yig‘ilib qolаdi. Ilmiy аsoslаngаn usullаrni qo‘llаsh tаlаbi borgаn sаri oshib borаr edi. Bundаy usul ishlаb chiqildi (Pаskаl 1623-1662, Dekаrt, Yakov Bernulli 1654-1705) Bu usul mаtemаtik induksiya usuli deyilаdi.
Yuqoridagi misollarni tahlil qilish natijasida ushbu savol tug’uladi. Bir qan- cha xususiy hollarda to’g’ri bo’lgan biror tasdiq berilgan bo’lsin. Bu tasdiq- ning to’g’riligini ko’rsatuvchi barcha cheksiz ko’p xususiy hollarni ko’rib chiqish inson qo’lidan kelmaydi (barcha natural sonlar uchun chiqarilgan tasdiqlar shular jumlasidandir). Xususiy arame cheksiz ko’p bo’lgani uchun to’la induksiyani qo’llash imkoniyatiga ega emasmiz, xususiy hollarga asosla- nib chiqarilgan tasdiq esa xato bo’lishi mumkin. Bu savolga, ba’zi hollarda, matematik induksiya metodi deb ataluvchi alohida mulohaza yordamida ja- vob beriladi.
Induksiya yordamida biror A(n) gigoteza bayon etilgan bo’lib, bu muloha- zaning ixtiyoriy n natural son uchun rostligini isbotlash kerak bo’lsin hamda A(n) mulohazaning to’g’riligini barcha n lar uchun bevosita tekshirib ko’- rishning iloji bo’lmasin.
A(n) mulohaza, matematik intuksiya prinsipiga asosan quyidagicha isbotlanadi
Bu tasdiqning to’g’riligi, asosan, n=1 uchun tekshiriladi. So’ngra aytilgan tasdiqni n=k uchun rost bo’lsin deb faraz qilib, uning rostligi n=k+1 uchun isbotlanadi. Shundan so’ng A(n) tasdiq barcha n (n€N) lar uchun isbotlangan hisoblanadi.
Bularga asosan, agar A(n) tasdiq n=1da rost bo’lsa, u navbatdagi n=1+1=2 son uchun ham rost bo’ladi. Tasdiqning n=2 uchun rostligidan uning n=2+1=3 uchun rostligi kelib chiqadi. Bundan esa tasdiqning, o’z navbatida natural songacha yetib boramiz. Demak, A(n) tasdiq ixtiyoriy n uchun o’rinlidir.
Aytilganlarni umumlashtirib, ushbu umumiy prinspni ifodalaylik:

1. 
   n=1 da A(n) mulohaza rostligi tekshiriladi;
   
2. 
   n=k daA(n) mulohaza rost bo’lsin deb faraz. N=n+1 uchun A(n) mulohazaning rostligi, ya’ni A(k) A(k+1) isbotlanadi. Shundan so’ng, A(n) mulohoza barcha n lar uchun rost deb xulosa qilinadi.
   

Matematik indukssiya pirinspiga asoslangan isbotlar isbotlashning matematik induksiya metodi deyiladi. Matematik induksiya metodiga asoslanib biror tasdiqni isbotlashda yuqorida ko’rsatilgan 1 va 2 punktlarning har birini tek-shirish juda muhimdir. Agar ulardan birortasini hisobga olmasak, chiqarilgan xulosa to’g’ri bo’lmay qolishi mumkin. Masalan, yuqorida ko’rsatib o’yilgan 6-9 misollarda induksiya pirnsipining faqat 1 qismiga asoslanib xulosalar noto’g’ri ekani aniqlandi. Xuddi shuningdek, 1 punktni isbotlamasdan, faqat 2 punktga asoslanib xulosa chiqarsak, chiqarilgan xulosa xato bo’lishi mumkin.

1. 
   Misol. Har qanday natural son o’zidan keyin keluvchi natural songa teng.
   

Isbot.
(1)
bo’lsin deb faraz qilaylik. U holda
(2)
hosil bo’ladi. Haqiqatdan ham, (1) ning ikkala tomoniga 1 ni qo’shsak, (2) kelib chiqadi. Bundan, agar tasdiq n=k uchun rost bo’lsa, u holda n=k+1
uchun ham rost ekani kelib chiqadi.
Natija. Barcha natural sonlar o’zaro teng. Natijaning xatoligi o’z-o’zidan ravshan. Bu xato qayerdan kelib chiqdi.
Xato shundan iboratki, matematik induksiya prinsipini qo’llash uchun zarur bo’lgan 1 punkt isbotlanmadi, faqat 2 punkt isbotlandi, xolos.
1 punkt induksiyaning asosi deyiladi. 2 punktda esa induksiya asosi istalgan n natural son uchun kengaytiriladi.
Agar 1 punkt tekshirilmay, faqat 2 punktning o’zi isbotlansa, u holda induksiya bajarish uchun asos yaratilmaydi, shu sababli isbotlangan narsa-ning ma’nosi bo’lmaydi, chunki kengaytirilishi kerak bo’lgan bazaning o’zi yo’q.
Agar 2 punkt isbotlanmay faqat 1 punktning o’zigina isbotlansa u holda induksiya bajarish uchun baza yaratilgan bo’lsada, bu bazani istalgan n son uchun kengaytirish qoidasi yo’q. Matematik induksiya metodi bilan isbotlash jarayonida quyidagi holler bo’lishi mumkin.
Induktiv fikr yuritib kuzatishlarga asoslangan holdabayon etilgan A(n) mu-lohaza rost bo’lsa, matematik induksiya metodi yordamida uni isbotlash mumkin. Agar induksiya yordamida bayon etilgan A(n) mulohaza hoto’g’ri bo’lsa uning xatoligini 2 punktni isbotlash jarayonida osongina aniqlash mumkin.
Matematik induksiya metodini misollarda tushuntiramiz.