I дифференциальные уравнения первого порядка

I bob Birinchi tartibli differensial tenglamalar.

1 Asosiy tushunchalar.

1 Asosiy tushunchalar.

Cauchy muammosi .

Birinchi tartibli differentsial tenglama

Bu funksional tenglama

Yoki mustaqil o'zgaruvchini, kerakli funktsiyani va uning hosilasini bog'lash

Tenglamaning umumiy yechimi yoki

Bu funktsiya, agar har qanday ruxsat etilgan c parametr uchun u ushbu tenglamaning ma'lum bir yechimi bo'lsa va qo'shimcha ravishda uning har qanday maxsus echimlari parametrning ma'lum bir qiymati uchun shaklda taqdim etilishi mumkin bo'lsa.

Cauchy muammosi

Differensial tenglamaning yechimini toping

berilgan boshlang'ich shartni qondirish:

ya'ni berilgan qiymatni olish

2. O‘zgaruvchilarni ajratuvchi birinchi tartibli tenglama

Birinchi tartibli differentsial tenglama, agar shaklga ega bo'lsa, ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega tenglama deyiladi. faqat o'zgaruvchining funktsiyalari, faqat o'zgaruvchining funktsiyalari,

3. X va y ga nisbatan bir jinsli va ularga qaytariladigan differentsial tenglamalar.

Agar argumentlar berilganda funktsiya qiymati o'zgarmasa va ixtiyoriy parametrga ko'paytirilsa, funktsiya nol o'lchamli bir hil funktsiya deyiladi.

Teorema .

nol o'lchovli funktsiyani quyidagicha yozish mumkin:

Agar funktsiya nol o'lchamli bir jinsli funktsiya bo'lsa va uni quyidagicha yozish mumkin bo'lsa, tenglama x va y ga nisbatan bir hil deyiladi :

n-sonning bir jinsli funksiyasi deyiladi o'lchovlar, agar x va y o'zgaruvchilari mos ravishda tx va ty ga almashtirilganda , bu erda t ixtiyoriy qiymat (parametr) bo'lsa, xuddi shu funktsiya ga ko'paytiriladi, ya'ni shart bajariladi: n soni funksiyaning bir jinsliligining o'lchami (darajasi) deb ataladi.

x va y ga nisbatan bir jinsli differensial tenglamadir .

Yechim usuli: Bir jinsli tenglamalarni y = xz ni qo'yish orqali alohida o'zgaruvchilari bo'lgan tenglamaga keltirish mumkin , bu erda z - x o'zgaruvchining yangi kerakli funksiyasi .

Teorema.

Shakldagi tenglama bir hilga yoki alohida o'zgaruvchilarga ega tenglamaga keltiriladi.

Ko'rinishdagi tenglama umumlashgan bir jinsli tenglama deyiladi, agar almashtirish natijasida berilgan tenglamani x va y ga nisbatan bir jinsliga aylantiradigan darajani tanlash mumkin bo'lsa .

DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR

IKKINCHI TARTIBLI DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR
Ta'rif:

Agar differentsial tenglamada ko'pi bilan ikkinchi tartibli hosila yoki differentsial bo'lsa, u ikkinchi tartibli differensial tenglama deb ataladi .
Eng oddiy ikkinchi tartibli differentsial tenglama quyidagi shakldagi tenglamadir:
Buni hal qilish uchun siz ifodani ikki marta birlashtirishingiz kerak :
Chiziqli differentsial tenglama
doimiy koeffitsientli ikkinchi tartibli tenglama deyiladi:
Agar
, keyin differentsial tenglama bir hil deb ataladi .
Bu shunday ko'rinadi:
Yechish uchun xarakteristik tenglamadan foydalaning :
Xarakteristik tenglamani echishda uchta holat mumkin:
Tenglama ildizlari
Har xil amal qiladi
D>0
Real teng
D=0
Murakkab konjugat
D<0
1 holat:
Xarakteristik tenglama haqiqiy turli ildizlarga ega ( D>0).
Umumiy yechim quyidagicha ko'rinadi:
2 sodir bo'layotgani:
Xarakteristik tenglama haqiqiy teng ildizlarga ega ( D = 0).
Umumiy yechim quyidagicha ko'rinadi:
3 sodir bo'layotgani:
Xarakteristik tenglama murakkab konjugat ildizlarga ega ( D<0).
Umumiy yechim quyidagicha ko'rinadi: