I kirish II. Asosiy qism fazoviy egri chiziqlar. Ularga urinma va normallar o‘tkazish

Giperbola
Berilgan F₁ va F₂ ikki nuqtadan uzoqliklarining ayirmasi o‘zgarmas miqdor bo‘lgan nuqtalarining to‘plami giperbola deyiladi.F₁N-F₂N=A₁A₂ =const
Kanonik tenglamasi
Parametrik tenglamasi x = a sec t
y = b tg t

Parabola Berilgan nuqtadan va d to‘g‘ri chiziqdan teng masofalarda joylashgan nuqtalarning to‘plami parabola deyiladi. FN=AN Kanonik tenglamasi y^2=2px Parametrik tenglamasi x=t, y= yoki y=t, x=t^2/2p

Faraz qilaylik  egri chiziq va uning biror R nuqtasi berilgan bo`lsin. R nuqta orqali qandaydir  tekislikni o`tkazamiz.
R va Q nuqtalar orasidagi masofani d bilan va Q nuqtadan  tekislikkacha bo`lgan masofani  bilan belgilaymiz.
Ta‘rif. Agar Q nuqta egri chiziq bo`ylab R nuqtaga intilganda /d² nisbat nolga intilsa  tekislikni  egri chiziqning R nuqtasidagi yopishma tekisligi deyiladi.
TEOREMA. Ikki marta differentsiallanuvchi  egri chiziq o`zining xar bir nuqtasida yopishma tekislikka ega. Bunda yopishma tekislik yoki yagonadir yoki urinma orqali o`tuvchi xar bir tekislik yopishma tekislikdan iborat. Agar r=r(t)  egri chiziqning vektor tenglamasidan iborat bo`lsa, yopishma tekislik r'(t) va r"(t) vektorlarga perpendikulyardir.
ISBOT. Faraz qilaylik  tekislik  egri chiziqning parametrning t qiymatiga mos kelgan R nuqtasidagi yopishma tekislikdan iborat bo`lsin.
Yopishma tekislikning birlik normal vektorini n orqali belgilaymiz. U xolda oldingi mavzulardagi kabi muloxazalar yuritib quyidagilarni olamiz, ya‘ni
d=|r(t+t)-r(t)|, =|n(r(t+t)-r(t))|
Shartga asosan  yopishma tekislik bo`lgani uchun QR da (/d<sup>2</sup>)0 bo`ladi. Ma‘lumki, Q nuqta R nuqtaga intilsa t 0 ga intiladi. Aytilganlar asosida quyidagilarga ega bo`lamiz:

Q nuqta R nuqtaga intilganda ₁0, ₂0 bo`ladi va oxirgidan nr'(t)=0, nr"(t)=0 kelib chiqadi. Bu tengliklardan nr', nr" ekani yoki r' va r" vektorlarning yopishma tekislikka parallelligi kelib chiqadi.
Yopishma tekislikning xar doim mavjudligi osongina ishonch xosil kilish mumkin. Buning uchun r'(t) va r"(t) vektorlarga parallel bo`lgan  tekislikni olamiz. U xolda nr'(t)=0, nr"(t)=0 bo`lib, Q nuqta R nuqtaga intilganda kelib chiqadi.
Shunday qilib, egri chiziqning xar bir nuqtasida yopishma tekislik mavjud bo`lib, agar r'(t) va r"(t) vektorlar kollinear bo`lsa yoki r"(t)=0 bo`lsa, urinma orkali o`tuvchi xar bir tekislik yopishma tekislikdan iboratdir.
Endi  egri chiziqning R(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>,z<sub>0</sub>) nuqtasidagi yopishma tekislik tenglamasini tuzamiz. Aytaylik A(x,y,z) nuqta yopishma tekislikning o`zgaruvchi nuqtasi bo`lsin. U xolda uchta RA, r' va r" vektorlar o`zaro komplanardir. Vektorlarning komplanarlik shartiga asosan (RA, r',r")=0 bo`ladi.
Oxirgi tenglikni koordinatalarda yozsak,

bo`ladi.
Bu yopishma tekislik tenglamasidir.
Ma‘lumki, urinish nuqtasi orqali o`tib, urinmaga perpendikulyar bo`lgan xar bir to`g`ri chiziqning normali deyiladi. Agar yopishma tekislik yagona bo`lsa, bu normallar orasida ikkitasi ajralib turadi. Ulardan birinchisi yopishma tekislikda yotuvchi normal bo`lib, uni egri chiziqning bosh normali deyiladi. Ikkinchisi esa, yopishma tekislikka perpendikulyar bo`lgan normal bo`lib, uni egri chiziqning binormali deyiladi.
Endi binormalning tenglamasini tuzamiz. r' va r" vektorlar chiziqning M<sub>0</sub>­ nuqtasidagi yopishma tekislikda yotadi. Shuning uchun V<sub>0</sub>=[r',r"] vektor binormal bo`ylab yo`nalgandir. Agar binormal ustida ixtiyoriy M(x,y,z) nuqtani olsak, vektor V<sub>0</sub> vektor bilan kollinear bo`ladi, yani =V₀. Bunda V₀ vektorning yoyilmasi:
V_­0=(y'z"-y'z')i+(z'x"-z"x')j+(x'y"-x"y')k
ning yoyilmasi esa
=(X-x)i+(Y-y)j+(Z-z)k.
Shu sababli binormalning koordinata shaklidagi tenglamalari

va vektor shakldagi tenglamasi: R-r=[r'r"].
Agar B=[r'r"] vektorni r' vektor bilan ko`paytirsak, V va r' ga tik vektor xosil bo`ladi. Bu vektor chiziqning bosh normali bo`ylab yo`nalgandir. Uni N bilan belgilaymiz:N=[[r'r"]r']. Ikki qaytali vektor ko`paytmani yoyish formulasiga asosan:
N=[[r'r"]r']=r"r'<sup>2</sup>-r'(r'r").
Jumladan, chiziqning M<sub>0</sub> nuqtasidagi bosh normal vektori N<sub>0</sub>=[[r'<sub>0</sub>r"<sub>0</sub>]r'<sub>0</sub>] bo`ladi. Uning yoyilmasi
N₀=[[r'₀r"₀]r'₀]=r"₀r'²₀ - r'₀(r'₀r"₀).
Bosh normal vektorining to`g`ri burchakli koordinata sistemasidagi yoyilmasi qisqacha N=i+j+k bo`lsin. Bu xolda to`g`irlovchi tekislikning tenglamasi
(X-x)+(Y-y)+(Z-z)=0
ko`rinishni oladi, chunki to`g`irlovchi tekislik M₀ nuqtadan o`tib, N<sub>0</sub> vektorga perpendikulyar bo`ladi.
Chiziqning M₀ nuqtasidagi bosh normali N₀ vektor bo`ylab yo`nalgandir. Uning tenglamasini yozish uchun bosh normalda ixtiyoriy M nuqtani olamiz. Natijada M₀M va N₀ vektorlar o`zaro kollinear bo`ladi. M₀M=N₀. Agar N₀ ning yoyilmasi N₀=₀i+₀j+₀k shaklda olinsa, bosh normalning tenglamalarini

ko`rinishda yozish mumkin.