Ii bob. Integral tenglamalar haqidagi asosiy tushunchalar

II BOB. INTEGRAL TENGLAMALAR HAQIDAGI ASOSIY TUSHUNCHALAR
Integral tenglamalar nazariyasi shu qadar rivojlanib, tenglamalarning turlari shu qadar ko’payib ketdiki, ularga umumiy ta’rif berishning iloji bo’lmay qoldi. Ma’lumki,agar biror tenglamadagi ma’lum funksiya differensiallash ishorasi ostida bo’lsa, bunday tenglama differensial tenglama deyiladi. Integral tenglamaning ta’rifi ham shunga o’xshash.
1-ta’rif: Agar tenglamadagi nom'Ium funksiya shu funksiyaning argumenti bo’yicha olinadigan integral ishorasi ostida bo'lsa,buday tenglama integral tenglama deb ataladi. Integral tenglamalarning turlari ko’p, ulardan ba’zilari quyidagilar.
2.1-Fredgolm tenglamalari
Ushbu integral tenglama Fredgolmning birinchi tur tenglamasi deyiladi

bunda -noma’lum funksiya, -ozod had va tenglamaning yadrosi-ma’lum funksiyalar,integrallash chegaralari va berilgan haqiqiy o’zgarmas sonlardir.
Fredgolmning ikkinchi tur tenglamasi deb quyidagi tenglamani aytamiz:

Bu tenglamadagi noma’lum funksiya integral ishorasidan tashqarida ham ishtirok etmoqda.(1) va (2) dagi tenlamaning parametri deb ataladi.
Qayd qilib o’tamizki, (2) bitta integral tenglama bo’lmay,balki sonli parametrga bog’liq bo’lgan integral tenglamalar oilasidir.Agar ko’paytmani bilan belgilab, ni yangi yadro deb qarasak, u holda tenglamaning parametri 1 ga teng bo’lib qoladi. (2) integral tenglama ikkinchi tur chiziqli integral tenglama yoki bunday tenglamalarni birinchi bo’lib o’rgangan matematik nomi bilan Fredgolm integral tenglamasi deyiladi.
Fredgolm tenglamalarida yadro va ozod had mos ravishda asosiy kvadrat va asosiy oraliqda uzluksiz, yoki ushbu


shartlarni qanoatlantiradi,deb hisoblanadi.Ravshanki, yadro kvadratda uzluksiz bo’lsa,(3) shart bajariladi.(3) shartlarni qanoatlantiruvchi yadrolar Fredgolm yadrosi deb ataladi.
Bu tenglamadagi funksiya kesmada, yadro esa yopiq sohada berilgan deb hisoblanadi.Agar kesmada bo’lsa,(2) tenglama quyidagi ko’rinishga keladi:

bunday tenglama bir jinsli integral tenglama deyiladi.
Agar ikkinchi tur Fredgolm integral tenglamasining umumiy yechimi mavjud bo’lsa,u

ko’rinishga ega bo’lishini tekshirib ko’rish qiyin emas,bunda (5) tenglamaning umumiy yechimi, esa (1) tenglamaning xususiy yechimidir.
Haqiqatdan ham, agar va mos ravishda bir jinsli bo’lmagan (2) tenglamaning umumiy va xususiy yechimlari bo’lsa, ularning ayirmasi (5) tenglamaning yechimi bo’ladi.Bundan darhol yuqoridagi tenglik kelib chiqadi.
Ushbu

tenglama uchinchi tur integral tenglama deyiladi.

Agar kesmada

1. 
   0 bo’lsa,undan (1) tenglama;
   
2. 
   1 bo’lsa,undan (2) tenglama kelib chiqadi.Yuqorida
   

biz tanishgan integral tenlamalarning barchasida noma’lum funksiya bir argumentlidir,ya’ni birgina erkli o’zgaruvchining funksiyasidir.Misol uchun quyidagi integral tenglamani olaylik:

bunda

Demak, bu tenglama Fredgolmning ikkinchi tur tenglamalaridan ekan.Integral tenglamada ishtirok etadigan noma’lum funksiya ikki argumentli bo’lishi ham mumkin.U holda,masalan,ikkinchi tur tenglama quyidagicha yoziladi.

bu yerda –ozod had sohada,yadro esa sohada berilgan deb hisoblanadi; va lar berilgan o’zgarmas haqiqiy sonlardir.Ana shunday tenglamalarga misol sifatida quyidagi tenglamani ko’rsatish mumkin:

Umuman,integral tenglamadagi noma’lum funksiya ko’p argumentli bo’lishi ham mumkin,u holda Fredgolm tenglamasidagi integral karrali bo’ladi.