Ii bob. Kombinatorika elementlarini o'qitiw metodikasi 1-§. Kombinatorikanıń tiykarǵı túsinikleri

5. Bernulli formulası Teoriyalıq maǵlıwmatlar
Teńgeni bir neshe ret taslaymiz. Tórtinshi taslawda gerb tárepiniń túsiwi birinshi, ekinshi, úshinshi taslardagi nátiyjelerge baylanıslı emes dep aytaylik. Biz baylanıslı bolmaǵan tájiriybeler menen dus kelamiz. Endi tómendegi máseleni yechamiz.
Qandayda bir bir retlik tájiriybe ótkerilgende A hádiysediń júz beriw múmkinshiligı p ga, júz bermaslik múmkinshiligı bolsa q=1-p ga teń bolsın. n ta tákirarlanıwshı tájiriybelerde A hádiysediń m ret júz beriw múmkinshiligı qanday? Bul hádiyseni:
«Cn=m» dep jazıp alamız. P(C_n=m)nı izleymiz.
n ta baylanıslı bolmaǵan tájiriybede A hádiyse m ret júz beriwi, n-m ret júz bermaslik hádiysesin n ta bólme kórinisinde oyda sawlelendiriwimiz múmkin, olardıń m tasi A hárıbi menen, n-m- tasi A hárıbi menen toldırılǵan. Eger bunday hádiyseler sanın N dep belgilesak, ol halda formulaǵa kóre
N=n!/m!(n-m)!=C_n^m.
Bizni « C_n =m» hádiyse qızıqtiradi, ol N ta B1, B2, B3, …., B_n hádiyseler birlespesinen ibarat. Olar teń múmkinshilikli hám jup-jupimenen birgelikte múmkin bolmaǵan hádiyseler, sol sebepli
P(C_n=m)=P(B₁)+P(B₂)+….+P(B_n)=NP(B₁).
Lekin B1 - A dıń m ret hám A dıń n-m ret alıwınıń kesilispesine teń.
A hádiyse p itimal menen júz beredi, A dıń júz bermaslik múmkinshiligı q ga
teń.
A dıń k ret júz beriw múmkinshiligın P_n(k) dep belgileymiz, ol halda bul
itimal B hádiysediń yamasa oǵan kiretuǵın hádiyseler júz beriwine múmkinshilik jaratıwshı
elementar nátiyjeler itimalları jıyındısına teń boladı, bunday elementar nátiyjeler sanı tákirarlanıwshı orın almastırıwlar sanına teń
P_n(k, n-k)=n!/ k!(n-k)!=C_n^k.
Sonday etip, Bernulli formulasına iye bolamız
P_n(k)=C_n^kp^kq^n–k.

Úlgili máseleler

88. Standart detalni tayarlaw múmkinshiligı 0, 95 ke teń. Kútilmegende saylanǵan 5 detaldan 3 detalnıń standart bolıw múmkinshiligın tabıń?
Sheshiw. n=5, k=3. Bernulli formulasına kóre
P₅(3)=C₅³p³q^5-3=5!/3!*2! (0,95)³*(0,05)²=0,0214.
89. 4 mergen bir-birine baylanıslı bolmaydıden birden nıshanǵa kósher otadi. Birinshisnıń nıshanǵa tekkizish múmkinshiligı 0, 8; ekinshisiniki-0, 7; úshinshisiniki - 0, 6 ; tórtinshisiniki - 0, 5. 2 den kóp bolmaǵan nıshanǵa tekkizish itimalların tabıń.
Sheshiw. B - 2 den kóp bolmaǵan nıshanǵa tekkizish, A0 - bir de nıshanǵa tekkizmaslik, A1 - bir nıshanǵa tekkizish, A2- 2 nıshanǵa tekkizish hodislari bolsın. Ol halda B=A0+A1+A2 (A0, A1, A2 -jup-jup birgelikte bolmaǵan hádiyseler ). Itimallardı qosıw qaǵıydasına kóre
P(B)=P(A₀)+P(A₁)+P(A₂)
boladı. Bernulli teoremasiga kóre n=4,
P(A₀)=P₄(0), P(A₁)=P₄(1), P(A₂)=P₄(2)

hám bunda másele shártiga kóre

p₁=0,8; q₁=0,2 p₂=0,7; q₂=0,3 p₃=0,6; q₃=0,4 p₄=0,5 q₄=0,5.
Sol sebepli
P₄(0)=0,012; P₄(1)=0,106; P₄(2)=0,32; P(B)=0,012+0,106+0,32=0,438.
90. Teńgeni 10 ret taslanǵanda gerb táreptiń eki ret túsiw múmkinshiligı nege teń?
Sheshiw. Bernulli teoremasiga kóre bizda n=10, k=2, p=1/2, q=1/2.
Sol sebepli

10
P(2)=C ²(1/2)²*(1/2)⁸=45/1024=0,04395.
91. Firma islep shıǵarap atırǵan buyımlardıń 96% i standartqa juwap beredi. Qadaǵalawdıń ápiwayılasqan sxemasında standart buyım 0, 98 itimal menen hám standart bolmaǵan buyım bolsa 0, 05 itimal menen qabıl etiledi. Ótkerilgen qadaǵalawda kútilmegende saylanǵan buyımdıń standartqa juwap beriw múmkinshiligın tabıń. A- qadaǵalawdan ótken buyım bolıw hádiysesi, N1- standart, N2-standart bolmaǵan buyım bolıwı hádiysesi.
Sheshiw. 96%-standart bolǵanı ushın
P(A/N1)=0,98 P(A/N2)=0,05 P(N1)=0,96 P(N2)=0,04 P(A)=0,98*0,96+0,05*0,04=0,9428.
92. Qadaǵalaw jumısı 5 sorawdan ibarat bolıp, olardıń hár birine 4 variant juwap berilgen. Olardıń birewi tuwrı, qalǵanları nadurıs. Hesh bir sorawdı bilmegen oqıwshı : a) 3 tuwrı juwap ; b) 4 den kem bolmaǵan tuwrı juwaptı bermaslik múmkinshiligın tabıń.
Sheshiw. Másele shártiga kóre p=0, 25, n=5, q=0, 75. Sol sebepli Bernulli teoremasiga kóre
a) k=3, P₅(3)=C₅³(0,25)³(0,75)²=0,0878;
b) k=0, P₅(0)=C₅⁰(0,25)⁰(0,75)⁵=0,2373 P=1-0,2373=0,77
93. Tájiriybe 3 oyın kubigini taslawdan ibarat. 5 baylanıslı bolmaǵan tájiriybede roppa -rosa 2 ret 3 bir túsiw múmkinshiligın tabıń.
Sheshiw. Bernulli teoremasga ko'ra n=5, k=2. Sonıń uchun
P=(1/6)³=0,005, q=0,995. P₅(2)=10*(0,005)²(0,995)³=0,00025.

Mustaqil sheshiw ushın shınıǵıwlar

94. Túrli orından nıshanǵa 4 kósher otildi. Birinshi kósher menen nıshanǵa tiyiw múmkinshiligı 0, 1, ekinshisi menen - 0, 2, úshinshisi menen - 0, 3 hám tórtinshisi menen - 0, 4 ke teń. Barlıq otilgan oqlar nıshanǵa tiymew múmkinshiligın anıqlań [0, 3024]
95. Áskeriy ushqısh bolatuǵın kisi 4 sınaqtan ótiwi kerek. Onıń tárepinen birinshi sınaqtan ótiw múmkinshiligı 0, 9 ǵa, ekinshisiidan ótiw -0, 95 ke, úshinshisidan ótiwi - 0, 8 ge, tórtinshisidan ótiwi - 0, 85 ke teń. Bul

2.