Ii bob. Kombinatorika elementlarini o'qitiw metodikasi 1-§. Kombinatorikanıń tiykarǵı túsinikleri

II BOB. KOMBINATORIKA ELEMENTLARINI O'QITIW METODIKASI
1-§. Kombinatorikanıń tiykarǵı túsinikleri
1. Kombinatorika haqqında túsinik.
Teoriyalıq maǵlıwmatlar
Tariyp. Kombinatorika - málim ózgesheliklerge iye bolǵan elementlerdiń túrli kombinatsiyaların uyreniwshi matematikanıń bólimi.
Kombinatorikanıń tiykarǵı máselesi - berilgen ob'ektlerden ol yamasa bul shártlerge bo'ysunuvchi bir neshe túrli kombinatsiyaları dúziw múmkin.
Jıynaqlardan parqli elmentlar kombinatsiyaları bir xil (qayta ) elementlerdi óz ishine alıwı múmkin.
2. Faktorial túsinigine alıp keliwshi másele
Faktorial tariypi
1.p ta túrli nomerden neshe túrli p xanalı san dúziw múmkin?
Sheshiw. Bir nomer (1) den tek bir bir xanalı san alıw múmkin: 1. Eki nomerden (1 hám 2) 2 qos belgili san alıw mumknim: 12 hám 21.
Bunı tómendegishe payda etiw múmkin: aldınǵı haldaǵı 1 sanı oń hám shep tárepine
2 nomerin jazıw menen payda etiw múmkin, yaǵnıy aldınǵı holni 2 ge kóbeytiw kerek (1•2).
3 nomer (1, 2 hám 3) den 6 úsh xanalı san alıw múmkin: 312, 132, 123, 321, 231, 213. Bunı tómendegishe payda etiw múmkin: aldınǵı haldaǵı hár bir qos belgili san oń, shep tárepine hám ortasıgav 3 nomerin jazıw menen payda etiw múmkin, yaǵnıy aldınǵı holni 3 kóbeytiw kerek (1•2•3).
Qıyın emeski, bunda tómendegi nizamlıqtı seziw múmkin: hár bir náwbettegi halda juwap aldınǵısına qaganda p ret artıq boladı. Qálegen p sanı ushın formula alamız : 1•2•3•... • (n-1) •n.
Juwap : 1•2•3•... • (n-1) •n
Tariyp. 1 den p ge shekem barlıq natural sanlar kóbeymesi p-faktorial dep ataladı hám p! dep belgilenedi.
Sonday etip: p! =1∙2∙3∙…∙p. 0! =1 dep esaplanadı.
Keri sannıń faktoriali joq.
Faktorialnıń tiykarǵı ózgesheligi: p! = (p-1)! p
Úlgili máseleler
2. Esaplań :

a) 4!;	b)	;	c)	.
a) 1	;	b)	;	c)

1. 
   Ańlatpanı ápiwayılastırıń: , bu erda t
   

/

2. 
   Teńlemeni sheshiń: , bul jerde m
   

; ; 6 ; ; 2; 3.

1. 
   1. Kombinatorikanıń tiykarǵı qaǵıydaları
   

Teoriyalıq maǵlıwmatlar

Kombinatorik masalalarni yechishda ko'pincha ikkita asosiy qoida

qollanıladı.
Qosıw qaǵıydası : Eger qandayda bir a elementti t ta usıl menen, ekinshi b elementti - p ta usıl menen tańlaw múmkin bolsa, ol halda a yamasa b elementti (t+p) ta usıl menen tańlaw múmkin.
Qosıw qaǵıydasınan paydalanıwda A ob'ektti tańlawdıń hesh qanday usılı B ob'ektti tańlaw usılı menen ústpe-úst túspewligi kerek. Eger bunday ústpe-úst túsiwler bolsa, ol halda qosıw qaǵıydası óz kúshin joǵatadı hám tek tańlawdıń (m+n-k) ta usılın alıw múmkin, bul erda k-ústpe-úst túsiwler sanı.
Kóbeytiw qaǵıydası : Eger qandayda bir a elementti t ta usıl menen, ekinshi b elementti - p ta usıl menen tańlaw múmkin bolsa, ol halda a hám b elementti tp ta usıl menen tańlaw múmkin.
Qosıw hám kóbeytiw qaǵıydaları qálegen sandaǵı chekli elementler ushın orınlı.
Úlgili máseleler
5. Gruppada 20 ta qız hám 5 ul bala bar. Sárdardı neshe qıylı usıl menen tańlaw múmkin?
Sheshiw. Sárdar retinde 20 ta qızdan biri yamasa 5 ul baladan biri tańlanıwı múmkin, sonday eken, sárdardı saylawdıń ulıwma sanı 20+5=25.
6. Mektepte 76 oqıtıwshı isleydi. Olardan 49 tasi anglichan tilin, 32 tasi nemis tilin hám 15 danası eki tildi de biladi. Neshe oqıtıwshı na anglichan tilin, na nemis tilin biladi?
Sheshiw. Ingliz yamasa nemis tilin 49+32-15=66 dana oqıtıwshı biladi.
Sonday eken, bul eki tilden qandayda-birın da 76 -66=10 oqıtıwshı bilmaydi.
7. Gruppada 30 kisi bar. Sárdar hám jaslar birlespesi etakchisini saylaw kerek. Bunı neshe qıylı usıl menen ámelge asırıw múmkin?
Sheshiw. Sárdar bolıp 30 oqıwshınan qálegensi saylanıwı múmkin, yaǵnıy sárdardı tańlawdıń 30 ta usılı bar. Sárdar saylaǵanınan keyin qalǵan
29 oqıwshınan jaslar jetekshisin saylab alıw múmkin. Sonday etip, sárdarnin saylawdıń bir usılına jaslar etakchisini tańlawdıń 29 usılı sáykes keledi. Sonday eken, sárdar hám jaslar etakchisini tańlawdıń ulıwma sanı 30∙29=870 ke teń.
8. Eger nomerler tákirarlanıwı múmkin bolsa, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 nomerlerinen neshe úsh xanalı jup san dúziw múmkin?
Sheshiw. abc úsh xanalı sannı dúziwde berilgen nomerlerden a dıń ornına noldan tısqarı, qálegen nomerdi alıw (6 múmkinshilik), b dıń ornına olardan qálegensin alıw múmkin (7 múmkinshilik), c dıń ornına 0, 2, 4, 6 nomerlerden qálegensin alıw múmkin (4 múmkinshilik). Sonday etip, kóbeytiw qaǵıydasına kóre másele shártini qánaatlantıratuǵın sannı dúziwdiń 6∙7∙4=168 usılı ámeldegi eken.
9. 1-sortlı 20 ta hám 2-sortlı 30 ta buyım bar. Bir sort daǵı eki buyımdı tańlaw kerek. Bunı neshe qıylı usıl menen orınlaw múmkin?
Sheshiw. Kóbeytiw qodisaga kóre 1-sortlı 2 buyımdı 20∙19=380 usıl menen tańlaw múmkin. Soǵan uqsas 2-sortlı 2 buyımdı 30∙29=870 usılı menen tańlaw múmkin. Másele shártigi kóre birdey sortlı eki buyımdı tańlaw kerek bolǵanı ushın, qaysı sorttan bolıwı zárúrli emes, birdey sortlı 2 buyımdı tańlawdıń ulıwma sanı 380+870=1250 ge teń boladı.
10. Eger nomerler tákirarlanıwı múmkin bolsa 0, 1, 2, 3, nomerlerinen neshe bir xanalı, qos belgili hám úsh xanalı jup sanlar dúziw múmkin?
Sheshiw. Ayqınki, berilgen nomerlerden tek bir birxonali jup san dúziw múmkin-2. Berilgen nomerlerden qos belgili ab sannı dúziwde a dıń ornına noldan tısqarı qálegen nomerdi alıw múmkin (3 múmkinshilik), b dıń ornına 0 hám 2 nomerlerinen qálegen nomerdi alıw múmkin (2 imknoiyat). Sonday etip, kóbeytiw qaǵıydasına tiykarınan bizge kerek bolǵan sannı dúziwdiń 3∙2=6 usılı bar.
Berilgen nomerlerden úsh xanalı abc sannı dúziwde a dıń ornına noldan tısqarı qálegen nomerdi alıw múmkin (3 múmkinshilik), b dıń ornına olardan qálegensin alıw múmkin (4 múmkinshilik), c dıń ornına 0 hám 2 nomerlerinen qálegen nomerdi alıw múmkin (2 imknoiyat). Sonday etip, kóbeytiw qaǵıydasına tiykarınan bizge kerek bolǵan sannı dúziwdiń 3∙4∙2=24 usılı ámeldegi eken. Qosıw qaǵıydasın qollap : 1+6+24=31 ge iye bolamız.
Tariyxıy maǵlıwmatlar
Birpara kombinatorik máselelerdi sheshiw menen áyyemgi Kitayda, keyinirek Rim imperiyasi dáwirinde de shuǵıllanganlar. Lekin matematikanıń ǵárezsiz bólimi retinde tek itimallar teoriyası páni rawajlanıwı sebepli Evropada 18 ásirden baslap tán alındı.

Figurali sanlar :

Áyyemginde esaplawlardı ańsatlastırıw ushın taslardan paydalanǵanler. Bunda tiykarǵı itibar úzliksiz figura formasında tavsirlash múmkin bolǵan taslar sanına qaratilar edi. Sonday etip kvadrat sanlar (1, 4, 16, 25, …) payda boldı. 1- suwretde olardı payda etiw qaǵıydası kórsetilgen.

0 0 0 0

		0	0	0	0	0	0	0
	0 0	0	0	0	0	0	0	0
0	0 0	0	0	0	0	0	0	0

Qálegen p -ne tártipli kvadrat san N= n² formula boyınsha esaplanadı. Úshmúyeshlik sanlar (1, 3, 6, 10, 15,... ) hám beshburchak (1, 5, 12, 22,) sanlar da dúzilgen. 2 hám 3-súwretlerde bul sanlardı payda etiw usılı kórsetilgen.
Qálegen p -ne tártipli úshmúyeshlik san N=n (n+1) /2 formula boyınsha esaplanadı.
Qálegen p -ne tártipli beshburchak N=n+3 n (n-1) /2 formula boyınsha esaplanadı.1 2*2=2²=4, 3*3=3²=9, 4*4=4²=16,
0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15,
2-rasm.
0
0 0
0 0 0
1, 2+3*(2*(2-1)/2)=5, . . .

3-súwret
11. Jetinshi tártipli: 1) kvadrat sannı ; 2) úshmúyeshlik sannı ;

3) beshburchak sannı tabıń.
Sheshiw.
1) N= n² formulaǵa kóre n=7 de N=72=49.
2) N=n (n+1) /2 formulaǵa kóre n=7 de N=7* (7+1) /2=28.
3) N=n+3* (n-1) /2 formulaǵa kóre n=7 de N =7+3*7* (7-1) /2=70.
12. n -ne tártipli kvadrat sannı jazıń : 1) n=20 ; 2) n=25; 3) n=31; 4) n=50.
13. Tómendegi kvadrat sanlar rejimin anıqlań : 1) 169 ; 2) 225; 3) 324; 4) 3600?
14. n -ne tártipli úshmúyeshlik sannı jazıń, eger: 1) n=20 ; 2) n=33 bolsa.
15. n -ne tártipli beshburchak sannı jazıń, eger: 1) n=5; 2) n=6 bolsa.

Temanı bekkemlew ushın sorawlar

1. «Kombinatorika» termini latınsha qanday mánisti ańlatadı? (gruppalaw, birlestiriw).
2. Bınamial koefficiyentler haqqındaǵı táliymattı birinshi bolıp kim aytǵan? [B. Paskal]
3. «Kombinatorika» termini qashanda baslap ishtila baslaǵan? [1666 y. ]
4. (!) belgisi kim tárepinen birinshi bolıp kiritilgen hám qaysı jılda? [1808 y., Krampa]
5. 0! nege teń? [1]
6. C_m⁰ nege teń? [1]
7. Qaysı alım itimallar teoriyasın aldınǵa alıp shıqqan? [Bernulli].
8. Qaysı ózbek ilimpazları itimallar teoriyasına úlken úles qosqan? [Sarımsaqov, Sirojiddinov, Azlarov, Pármanov].
9. P (A) itimal qaysı shegaralarda jaylasqan? [0 den 1 gacha].
«variantlar tereki» Teoriyalıq maǵlıwmatlar
Kúndelik turmısda biziń aldımızǵa bir emes, sheshiwdiń bir neshe variantı ámeldegi bolǵan máseleler payda boladı. Tuwrı tańlawdı ámelge asırıw ushın olardan hesh birin qoldan shıǵarmaslik kerek. Onıń ushın barlıq múmkin bolǵan variantlardı tańlawdı ámelge asırıw kerek. Bunday máseleler de kombinatorik máselelerge kiredi.
3, 4 hám t.b. sandaǵı sınaqlar ushın kóbeytiw qaǵıydası tegislikten chiqmasdan geometriyalıq súwret (model) járdeminde túsindiriw múmkin. Onı múmkin bolǵan variantlar tereki dep ataydilar. Ol birinshiden hár qanday súwret sıyaqlı kórgezbeli, ekinshiden, hesh nárseni qaldırmasdan esapqa alıwǵa múmkinshilik beredi

Úlgili máseleler

16. 1, 4 hám 7 nomerlerinen paydalanıp neshe qos belgili san dúziw múmkin? Sheshiw. Ótkerip jibermaslik hám tákirarlamslik ushın ósiw tártibinde jazamız 11, 14, 17, 41, 44, 47, 71, 74, 77. Sonday etip, 9 ta san boladı.
Usıdan ayqın boladı, bul máseleler ulıwma kóbeytiw qaǵıydasına tiyisli.
Eki A hám B sınaqtı baylanıslı bolmaydıden ótkeriw ushın barlıq múmkin bolǵan nátiyjeler sanın tabıw ushın A sınaqtıń barlıq nátiyjeleri sanın B sınaqtıń barlıq nátiyjeleri sanına kóbeytiw kerek.
17. Eger nomerler tákirarlanıwı múmkin bolsa, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 nomerlerinen neshe úsh xanalı jup sanlar dúziw múmkin?
Sheshiw. Mısalı, abc sanında a ornına qálegen nomerdi (0 den tısqarı ), yaǵnıy 6 múmkinshilik, b dıń ornına 7 nomer, c dıń ornına tek 2, 4, 6, 0 nomerlerin alıw múmkin, yaǵnıy 4 múmkinshilik boladı. 6*7*4=168 sanǵa iye bolamız.
Juwap : 168.
18. 1) 1, 3, 5, 7, 9 nomerlerinen neshe qos belgili san dúziw múmkin? ([25], 2) Olardan neshesi beshga márteli? ([5])
19. Bir neshe mámleket ózleriniń mámleket bayraqları ushın túrli reńdegi - aq, kók, qızıl, jasıl reńdegi tórtew vertikal birdey keńliktegi yo'lli bayraqtan paydalanıwǵa qarar etdiler. Hár bir mamlkatnıń óz bayraǵina bar. a) Neshe mámleket sonday bayraqlarǵa ıyelewi múmkin? [24]. b) Neshe mámleket birinshisi aq bolǵan bayraqqa ıyelewi múmkin? [6]
20. Shańaraqta 6 kisi, stol átirapında 6 stul bar. Shańaraq hár kúni keshte awqatlanıwda bul 6 stulǵa jańasha otırıwǵa qarar etdi. Neshe kún shańaraq aǵzaları tákirarlamasdan bul jumıstı ámelge asırıwları múmkin?
Sheshiw. Qolaylıq ushın stullardı nomerleymiz. Bunda shańaraq aǵzaları gezekpe-gezek o'tiriadilar dep esaplaymiz. Aldın 6 variant, keyin 5 keyininen 4, 3, 2, 1 variant boladı. Kóbeytiw qaǵıydasına kóre 6*5*4*3*2*1=720. Sonday etip, shańaraq derlik 2 jıl alısıp otırıwları múmkin. Juwap :720.
21. 10 túrli xat birden 10 koverta jaylastırıladı. Neshe jaylastırıw usılı bolıwı múmkin? [3628800]
22. Gruppa studentleri súwretlerdi bir-birleri menen almastırıw qarar etdiler. Eger gruppada 24 dana student bolsa, neshe onıń ushın súwret talap etiledi? [552]
23. Doniyor, Alisher hám Nilufar basketbol sebetine top túsiriwdi shınıǵıw qılıw ushın jıynaldılar. Olarda bir top bar hám olar kim kimdan keyin toptı taslawdı kelisip alıwları kerek. Olar neshe qıylı usıl menen gezekke turıwları múmkin? [6] (terek yasang)
Faktorial túsinigi Teoriyalıq maǵlıwmatlar
Tariyp. Birinshi p ta natural san kóbeymesi n! dep belgilenedi hám “EN FAKTORIAL” dep ataladı :
N! =1*2*3*... (n-2) (n-1) n. (anglichansine «factor» sóziniń mánislerinen biri, awdarması ko'paytuvchi). 0! =1 dep esaplanadı. n! dıń birinshi bir neshe bahaların keltiremiz:
1! =1, 2! =1*2=2, 3! =1*2*3=6, 4! =1*2*3*4=24, 5! =1*2*3*4*5=24*5=4! *5=120 hám t.b..
TEOREMA. n ta túrli elementli jıynaqtı 1 den n ge shekem nomerler menen túrlishe usıl menen nomerlew múmkin.
1 den n ge shekem nomerlewdiń hár bir usılı berilgen n elementli jıynaqtıń orın almastırıwı dep ataladı. Rasında, hár bir bunday nomerlew jıynaqtıń barlıq elementlerin qandayda bir tártipte jaylastıradı yamasa ornın almastıradı.
n elementli jıynaqtıń orın almastırıwlar sanı P_n dep belgilenedi.
Sonday eken, keltirilgen teoremani P_n =n! formula kórinisinde jazıw múmkin.
Úlgili máseleler
24. Esaplań : a) 7! ; b) 8! ; c) 6!-5; d) 5! 5 [5040, 40320, 600, 24]
25. 11!; a) 64 ke; b) 25 ke; c) 81 ge; d) 49 ǵa bólinedime? [ha, awa, awa,
joq]
26. Tómendegi sanlar neshe nol menen tawsıladı : a) 10!; b) 12!; c) 15!;
d) 26! [2, 2, 3, 6]
27. Kasrni qısqartiring: a) n! / (n-1)!; b) n! /2! (n-2)!; c) (2 n+1)! / ( (2 n-1)! [n, n (n-1) /2, 2 k (2 k+1) ]
28. Ańlatpanı ápiwayılashtiring :

a) (n+2)!(n²-9) b) 25n⁵-n³ * (5*(5n-2)!)

(n+4)! (5n+1)!
29. Teńlemeni natural sanlarda sheshiń:
a) n! =7 (n-1)! b) (n-10 )! =77 (n-11)! [7, 87]
Gruppalar boyınsha ózbetinshe jumıs ushın tapsırmalar : 1) Esaplań : a) (7!-5!) /6!; 1) Esaplań : a) (6!-4!) /3!
b) 5! / 3! +4! b) 5! *3! / 6!
2) Ańlatpanı ápiwayılashtiring:
a) (n+1)! / n! *n! / n (n-1) a) (n-1)! / (n+2)! *n! / (n-2)!
1/n!-1/ (n+1)! 1/ (n-1)!-1/n!
Ǵárezsiz sheshiw ushın shınıǵıwlar :
1) Esaplań : a) 10! /5!; b) 11! /5! *6!; c) 51! /49!.[30240, 462, 2550]
2) Kasrni qısqartiring: (4 n-1)! / (4 n-3)! [ (4 n-1) (4 n-2) ]
3) Teńlemeni natural sanlarda sheshiń: (n+17)! =420 (n+15)! [4]
31. Zamanagóy beshkurashchilar eki kún dawamında sporttıń 5 túri boyınsha musobaqalashadilar: otlarda kros, qilichbozlik, suzish, o'q otish,
juwırıw. Jarıs túrlerin ótkeriwdi neshe variantı bar. [5*4*3*2=120]. Eger aqırǵı tur juwırıw kerek bolsa, neshe variant boladı? [4*3*2=24]
32. Esaplań : a) 14! / (7! 3! 4!)
b) 7! 4! /10! c) 8! / (3! 5!)-9! / (2! 7!)
33. Teńlemeni sheshiń: m!-(m-1)! / (m+1)! =1/6.[2, 3]
Test
1- variant.
1) 1, 5, 6, 7 nomerlerinen neshe barlıq tórt xanalı sanlar dúziw múmkin, eger nomerler tákirarlanıwı múmkin bolsa? a) 250; b) 256 ; c) 300.
2) Esaplań : 17! / (5! *9!).
3) Teńlemeni sheshiń: 7 (n-1)! =n!
2- variant
1) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, nomerlerinen neshe barlıq úsh xanalı sanlar dúziw múmkin, eger nomerler tákirarlanıwı múmkin bolsa? a) 168 b) 178 c) 2004)
2) Esaplań : 14! / (6! *8!)
3) Teńlemeni sheshiń: (n-9 )! = (n-10 )!