Ii bob. Kombinatorika elementlarini o'qitiw metodikasi 1-§. Kombinatorikanıń tiykarǵı túsinikleri

[P_n(k_{1 ,}k_2, ..,k_n)=n!/k₁!k₂!…k_n!].
6. Tákirarlanıwshı orınlashtirishlar formulasın jazıń [A_m^k=m^k]
7. Kasrni qısqartiring: (4 n-1)! / (4 n-3)!
a) (4 n+1) (4 n-2) b) (4 n+3) c) (4 n-1) (4 n-2)
8. Kasrni qısqartiring: (2 n+1)! / (2 n-1)!
a) 2 n (2 n+1) b) 2 n (2 n-1) c) 2 n
9. Shınıǵıwlarda 12 dana basketbolchi qatnasıp atır. Neshe túrli baslanǵısh beslikler dúzilisi múmkin? [C₁₂⁵=792]
10. Shaxmat taxtasında 8 ruxni bir-birin urmaydigan etip neshe qıylı usıl menen jaylastırıw múmkin? [8 qıylı pozitsiyada P₈=8! =40320]
11. Eger xatlardı 3 kurer tarqatatuǵın hám aldınan olar kimga beriliwi málim bolsa bolsa, 6 xatni neshe qıylı usıl menen jıberiw múmkin? [729].
2- §. Kombinatorikanıń itimallar teoriyasına nátiyjeni ámelde qollanıwları
1. Isenimli, múmkin bolmaǵan hám tosınarlı hádiyseler Teoriyalıq maǵlıwmatlar
Kóplegen oyınlarda oyın kubigidan paydalanıladı. Kubikda 6 jaq bolıp, hár bir yoqqa 1 den 6 ǵa shekem sanda bolǵan noqatlar belgilengen. Oyınshı kubikni taslaydı hám túsken yoqda (kubiknıń joqarıda jaylasqan yoqidagi) neshe noqat bar ekenligine qaraydı. Kóbinese kubiknıń jaqlarındaǵı noqatlar uyqas nomerler menen almastırıladı hám 1, 2, …., 6 cifrlardıń túskeni haqqında sóylesedi. Kubikni taslawdı tájiriybe, eksperiment, sınaq (hátte oyın da dep), alınǵan nátiyjeni - sınaq, tájiriybe yamasa elementar hádiyse dep esaplaw múmkin. Adamlarǵa ol yamasa bul hádiyseni júz beriwin tabıw, onıń nátiyjesin boljaw qızıqlı. Oyın kubigini taslaǵanda olar qanday boljawlar etiwi múmkin? Mısalı, bunday : A hádiyse 1, 2, 3, 4, 5 yamasa 6 nomeri túsiwi; B hádiyse -7, 8 yamasa 9 nomeri túsiwi; C hádiyse-1 nomeri túsiwi.
Hádiyseler - baqlaw yamasa tájiriybe nátiyjesi.
Birinshi halda boljaw etilgen A hádiyse álbette júz beredi. Berilgen tájiriybede álbette júz beretuǵın hádiyse isenimli hádiyse dep ataladı. Mısalı, suw tolıq stakan túbirrilsa, ol halda suw to'kiladi.
Ekinshi halda boljaw etilgen B hádiyse hesh qashan júz bermeydi, bul múmkin emes. Berilgen tájiriybede júz beriwi múmkin bolmaǵan hádiyse múmkin bolmaǵan hádiyse dep ataladı.
Úshinshi halda boljaw etilgen C hádiyse haqqında ne dewimiz múmkin, júz beredime yamasa júz bermeydime? Bul sorawǵa tolıq isenim menen juwap bere almaymız, sebebi 1 nomeri túsiwi de, túspewligi de múmkin. Berilgen tájiriybede júz beriwi de, júz bermasligi da múmkin bolǵan hádiysege tosınarlı hádiyse dep ataladı. Mısalı, kisi kóshede tanıwların ushıratdı.
Úlgili máseleler
67. Barlıq qos belgili sanlar qaǵazchalarga jazılǵan. Polat tosınarlı túrde bir qaǵazshanı tańladı. Tómendegi hádiyselerdi isenimli, múmkin bolmaǵan hám tosınarlı hádiyseler retinde qanday hádiyse ekenligin anıqlań :
a) A hádiyse - saylanǵan qaǵazchada túpkilikli san jazılǵan bolıwı ;
b) B hádiyse - saylanǵan qaǵazchada quramalı san jazılǵan bolıwı ;
c) C hádiyse - saylanǵan qaǵazchada túpkilikli de quramalı da bolmaǵan san jazılǵan bolıwı ;
d) D hádiyse - saylanǵan qaǵazchada toq yamasa jup san jazılǵan bolıwı.
Sheshiw. A hám B hádiyseler - tosınarlı, C - múmkin bolmaǵan hádiyse, D - isenimli hádiyse.
68. Tómendegi hádiyselerden qay-qaysısı isenimli:
A - ush kósher atıwda eki ret nıshanǵa tiyiw; B - ush oyın kubigini taslaǵanda 18 ochkodan kóp ochko chiqmasligi; D - kútilmegende taslanǵan úsh xanalı sanıń 1000 den úlken bolmawi; E - 1, 2, 3 nomerlerinen tákirarsız dúzilgen kútilmegende saylanǵan sannıń 400 den kishi bolıwlıǵı ;
Sheshiw. B, D hám E - isenimli hádiyseler.
69. Tómendegi hádiyselerden qay-qaysısı múmkin bolmaǵan hádiyse A - Tashkent tezjurer poezdınıń shembi kúnleri keshigiwi; B -3 oyın kubigini
taslaǵanda 17 ochkonıń shıǵıwı ; C -o, n, a háripler kompleksin kútilmegende tergende ana sóziniń shıǵıwı ; D - 1, 2, 3, 7, 8 nomerlerden dúzilgen hám 9 ǵa márteli sannıń kórsetilgen nomerlerdi bir ret kútilmegende tergende shıǵıwı.
Sheshiw: D - múmkin bolmaǵan hádiyse.
70. Siz kitaptı ixtiyoriiy betini ashtıńız hám birinch dus kelgen sózdi tańladingiz. Hádiyse tómendeginen ibarat : a) sózdiń jazıwında dawıslı hárip bar;
b) sózde o hárıbi bar; c) sózde dawıslı hárip joq ; g) sózde ayırıw belgisi bar. Bul hádiyselerden qaysıri isenimli, múmkin bolmaǵan hám tosınarlı hádiyse?
Sheshiw. a) - isenimli; b), g) -tosınarlı ; c) - múmkin bolmaǵan hádiyseler.
Ǵárezsiz sheshiw ushın shınıǵıwlar
71. (0;1) hám (5;10 ) eki aralıq berilgen; birinshisidan a sanın, ekinshisidan c sanı saylanadı : a) a sanı c den kishi; b) a sanı c sanınan úlken; b) a+c sanı (5;10 ) aralıqqa tiyisli; g) a+c sanı (5;10 ) aralıqqa tiyisli emes. Bul hádiyseler qanday hádiyseler boladı?
72. Qopda 10 shar bar: 3 kók, 3 aq hám 4 qızıl. Tómendegi hádiyseler túrin aytıń : a) qopdan 4 shar alındı hám olardıń barlıǵı kók b) qopdan 4 shar alındı hám olardıń barlıǵı qızıl ; b) qopdan 4 shar alındı hám olardıń barlıǵı hár qıylı reńde; g) qopdan 4 shar alındı hám olar arasında qara shar chiqmadi.
73. Isenimli hám múmkin bolmaǵan hádiyselerdi kórsetiń: A - eki oyın kubigini bir ret taslaǵanda 12 ochkodan zıyat ochko chiqmasligi; B aeroport ústinde 3 samolyottıń bır jola payda bolıwı ; C 3 kósher atıwda nıshanǵa tiyiw; D -1, 2, 3 nomerlerinen ibarat hám 5 ke márteli sannıń sanagich aynasında payda bolıwı ; [A- isenimli, D- múmkin bolmaǵan hádiyse, qalǵanları tosınarlı hádiyseler].
74. Eki qutida hár qıylı aq, kók, qızıl, sarı hám jasıl reńli 5 ten shar bar. Qutilarda 1 den shar alınadı. Tómendegiler qanday hádiyseler boladı : a) sharlar túrli reńli [i], b) birdey reńli [t], c) 1 qara hám 1 aq [m].
2. Hádiyse múmkinshiligınıń klassik tariypi Teoriyalıq maǵlıwmatlar
Oyın kubigini taslaymiz. 1 den 6 ǵa shekem sanlar túsiwi múmkin. Bul hádiyselerden hár biri elementar hádiyse hám olar birgelikte elementar hádiyseler keńisliksin quraydı. Lekin bul elementar hádiyseler teń múmkinshilikli bola ma?
Teń múmkinshilikli elementar hádiyseler dep olardan qálegensi qalǵan basqalarına salıstırǵanda birdey sharayatlarda ótkeriletuǵın kóp sanlı tájiriybelerde basqasına salıstırǵanda hesh qanday júz beriw abzallıǵına iye bolmaytuǵın hádiyseler esaplanadı.
Qandayda bir A hádiysediń júz beriw múmkinshiligin m/n koefficient menen ólshew qolay, bul erda n - berilgen tájiriybe sharayatlarınan kelip shıǵıwshı barlıq teń múmkinshilikli elementar hádiyseler sanı, m -A hádiysediń júz beriwine múmkinshilik jaratıwshı teń múmkinshilikli hádiyseler sanı.
Bul A hádiysediń júz beriw múmkinshiligiyanıń qolay ólshewin bul hádiysediń múmkinshiligı dep ataw qabıl etilgen hám ol tómendegishe formula formasında jazıladı :

Tariyp. A tosınarlı hádiysediń múmkinshiligı dep bul hádiyse júz beriwine múmkinshilik jaratıwshı teń múmkinshilikli elementar hádiyseler sanınıń (yamasa barlıq nátiyjeler sanınıń ) berilgen tájiriybe menen anıqlanıwshı E keńisliktiń barlıq teń múmkinshilikli elementar hádiyseler sanına (óz-ara nátiyjelerdiń ulıwma sanına ) qatnasına aytıladı (tosınarlı hádiyse múmkinshiligınıń klassik tariypi).

Úlgili máseleler
75. Oyın kubigini bir ret taslaǵanda : a) 4; b) 5; c) jup sandaǵı ochkolar;
g) 4 ten úlken ochko d) 3 márteli bolmaǵan ochkolarnıń túsiw múmkinshiligın tabıń.
Sheshiw. Jámi n=6 múmkin bolǵan nátiyje ámeldegi, yaǵnıy bul nátiyjelerdiń teń múmkinshilikli haqqındaǵı boljawdı qabıl etemiz. Hádiyse múmkinshiligınıń klassik tariypiga tiykarınan
a) b) n=6, m=1, P (A) =1/6 ; c) n=6, m=3, P (A) =3/6=1/2;
g) n=6, m=2, P (A) =2/6=1/3; d) n=6, m=4, P (A) =4/6=2/3.
76. Oyın kubigini eki ret taslaǵanda túsken ochkolar kóbeymesi:
a) 5 ke márteli; b) 6 ǵa márteli bolıw múmkinshiligın tabıń.
Sheshiw. Kubikni hár ret taslaǵanda 6 nátiyje bolıwı múmkin. Kóbeytiw qaǵıydasına kóre bul tájiriybe 6*6=36 nátiyjege iye. Sonday eken, n=36. Berilgen halda barlıq nátiyjeler-(1;1), (1;2), … (1;6 ), (2;1), (2;2), …. (6 ;5), (6 ;6 ) juplıqlardan ibarat boladı.
a) agar birinshi orında 5 tursa, ol halda 6 variant, ekinshi orında tursa da 6 variant, lekin (5;5) eki ret ushraydı, sol sebepli m=11, n=36 hám P (A) =11/36.
b) agar birinshi orında 6 tursa, ol halda 6 variant, ekinshi orında tursa da 6 variant, lekin (6 ;6 ) eki ret uchrayaydi, sol sebepli 11 variant, lekin taǵı (2;3), (4;3), (3;2), (3;4) juplıqlar kóbeymesi 6 ǵa márteli - sonday eken taǵı 4 variant, jámi bolıp m=11+4=15, n=36. Hádiyse múmkinshiligınıń klassik tariypiga tiykarınan P (A) =15/36=5/12.
77. 36 talik oyın kartasınan tasadifiy túrde bir waqıtta 3 karta alınadı. Olar arasında chillik dama joyılıw múmkinshiligın tabıń.
Sheshiw. Jámi kartalar sanı 36. Sonday eken, n=C³₃₆ nátiyje. Chillik damani bir tárepke alıp qóyamız hám qalǵan 35 ten 3 ten karta tańlaymiz, yaǵnıy m=C³₃₆ Hádiyse múmkinshiligınıń klassik tariypiga tiykarınan