Ii bosqich 205-guruh talabasi bobomurodov jafarning

Eslatma. Xosmas integralni yuqoridagi misoldagiga o`xshash tekshirish uni yaqinlashishga tekshirish deb atalib, bunda uning qiymatini, agar talab qilinmagan bo`lsa, topish (hisoblash) shart emasdir.
Yuqorida ko`rilgan misollardan integral osti funksiyasining boshlang`ich funksiyasi F(x) ning xosmas integral yaqinlashuvchi bo`lishi uchun x+ dagi chekli limiti mabjud bo`lishi kerak ekanligini ko`ramiz. Quyidagi teorema o`rinlidir.
2-teorema. Agar f(x) funksiya [a;+) oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lib, bu oraliqda uning boshlang`ich funksiyasi F(x) mavjud va x+ da chekli limitiga ega bo`lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi bo`ladi.
Isbot.
.
Bu yerda belgilashdan foydalandik. Teorema sharti asosida F(+) chekli limit mabjudligidan xosmas integralning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
3-teorema. Agar f(x) va (x) funksiyalar [a;+) oraliqda aniqlangan va uzluksiz x[a;+) f(x) (x) 0 tengsizlik o`rinli bo`lib,
1) yaqinlashuvchi bo`lsa, ham yaqinlashuvchi bo`ladi;
2) uzoqlashuvchi bo`lsa, ham uzoqlashuvchi bo`ladi;

Navbatdagi teoremani keltirish avvalida integralga tegishli yana bir tushunchani kiritamiz. Agar f(x) funksiya absolut qiymatining biror oraliq bo`yicha (cheklimi yoki cheksizmi) integrali mabjud bo`lsa, bu funksiya shu oraliq bo`yicha absolut integrallanuvchi deyiladi, ya`ni
mabjud bo`lsa, f(x) (a;b) oraliqda absolut integrallanuvchidir.
4-teorema. Agar f(x) funksiya [a;+) oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lib, shu oraliqda absolut integrallanuvchi bo`lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi bo`ladi.
5-teorema. Agar f(x) va (x) [a;+) oraliqda uzluksiz va manfiy bo`lmagan funksiyalar bo`lib, chekli limit mabjud bo`lsa, va xosmas integrallarning ikkalasi ham yaqinlashuvchi yoki ikkalasi ham uzoqlashuvchi bo`ladi, ya`ni ulardan biri yaqinlashuvchi boshqasi uzoqlashuvchi bo`laolmaydi.
1-eslatma. Agar 4- teoremada bo`lsa, u holda
a) yaqinlashuvchi bo`lsa yaqinlashuvchi;
b) uzoqlashuvchi bo`lsa, uzoqlashuvchi bo`lishi kelib chiqadi, ammo, bir xil tabiatli ekanligi kelib chiqmaydi.
2-eslatma. Yuqorida keltirilgan teoremalar xosmas integralning yaqinlashish belgilari deb yuritiladi.
2. Xuddi yuqoridagidek, agar f(x) funksiya (-; a] oraliqda uzluksiz bo`lsa,
(bdeb qabul qilib, bu oraliq uchun ham xosmas integral tushunchasi kiritiladi. Bu yerda 2a-x=t almashtirish bilan yuqoridagini (t)=-f(2a-t) funksiyaning xosmas integraliga keltirish mumkin. Demak, yuqoridagi yaqinlashish belgilari bu yerda ham o`rinlidir.
3. Agar f(x) funksiya (-;+) oraliqda uzluksiz funksiya bo`lsa, ixtiyoriy
a(-;+) nuqtani olib, (-;+) oraliq uchun xosmas integral tushunchasi


ko`rinishda kiritiladi. Ko`pincha a=0 deb olinadi.