Ii bosqich 205-guruh talabasi ramazonova Shohidaning

II bob
2.1.Ikkinch tur sirt egri chiziqli integrallarning ikki karrali integralga keltirish.
funksiyani (S) sirt nuqtalarida uzluksiz deb faraz kilamiz.
Dastavval asosli holni - (S) sirt oshkor tenglamasi

bilan berilgan va funksiya o’z xysusiy hosilalari

bilan birga uzluksiz bo’lgan holni ko’raylik.
Agar (2) integral sirtning yuqori tomoni bo’yicha olinayotgan bo'lsa, (1) integral yig’indidagi barcha lar musbatdir. Bu yigindidagi o'rniga uning ni qo'yib, uni

Ko’rinishga keltiramiz, bu esa oddiy ikki karrali integral


uchun integral yig’indidir.
Limitga o'tib, (2) integralning mavjudligini va ushbu tenglikni chikaramiz:

Agar integral (S) sirtning kuyi tomoni bo’yicha olingan bo'lsa, ravvshanki,

bo'ladi.

Endi (ko'rilayotgan hol uchun) har ikkala tur sirt integrallari orasida munosabat o'rnatish qiyin emas. Hozircha, ikkinchi tur sirt integrali sirtning yuqori tomoni bo’yicha olgan bo'lsin. Agar 369- dagi (5) formulada, burchakni o'tkir burchak hisoblab, funksiyani ga almashtirsak,

deb yoza olamiz. Bundan. (3) ni hisobga olib, izlanayotgan formulani hosil kilamiz.

Sirtning yuqori tomonini quyisiga almashtirish bilan biz, (4) tenglikning chap tomonida ishorani o’zgartirgan bo’lamiz. Ayni zamonda biz sifatida quyiga yo’nalgan normalning o’qi bilan tashkil qilgan o’tmas burchagini olsak, cosinus va y bilan birga integral ham, ishorasini uzgartiradi; binobarin, tenglik saqlanadi.
Agar (S) sirt yasovchilarn o’qiga parallel bo’lgan slindrik sirtning bo’lagi bo’lsa, uning barcha elementlari proyeksiyalarining yuzlari nolga teng bo’ladi va, demak, bu holda

Ravshanki, bu hol uchun ham (4) tenglik o’rinli: chunki va shunga ko’ra, o'ng tomon ham nolga teng bo’ladi.

3°. Nihoyat, agar (S), sirt chekli sondagi da va da ko’rilgan xildagi qismlardan iborat bo’lsa, har bir qism uchun o’rinli bo’lgan (4) ko’rinishdagi tengliklarni jamlab, bu umumiy holda ham (4) formula o’rinli ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
4º. (2*) sirt integralari uchun ham (4) ga o’hshash formulalarni hosil qilish mumkin. Uchta ixtiyoriy uzluksiz P, Q, R funksiyalar uchun mos ravishda yozilgan formulalarni qo’shib, ikkinchi va birinchi tur sirt integrallarini bog’lochi umumiy formulani hosil qilamiz:

Shuni ta'kidlab o'tish kerakki, bu tenglikning o'ng tomonida, sirtning chap tomondagi integral olingan tomonniga mos keluvchi normalning yo’naltiruvchi cosinuslari turibdi.

5°. Agar (S) sirt parametrik tenglamalar bilan berilgan bulsa, (6) ning o'ng tomonidagi integralni-demak, chap tomondagi integralni ham - parametrlarning o'zgarish sohasi bo’yicha olingan oddiy ikki karrali integralga keltirish mumkin. Avvalo, skrtni sodda va sillik deb hamda bo’lakli - sillik ( ) kontur bilan chegaralangan deb faraz qilaylik.
Uning ma'lum bir tomonini tanlaylik; bu bilan biz unda ma'lum yo'nalish aniqlagan bo’lamiz. Agar ( ) sohaning konturi ( ) ni musbat yo’nalishda aylanib chikishga (L) konturni ham musbat yo’nalishda aylanib chikish mos kelsa, u hold, bilamizki, [362- ], sirtning shu tanlangan tomonini xarakterlovchi normalning yo’naltiruvchi cosinuslari


formulalar (ildiz oldidagi ishora (+)) bilan aniqlanadi. Undan tashkari, u, parametrlar bo’yicha ikki karrali integralga o’tganda yuz elementi dS ni

ifod bilan [369- ] almashtirish kerak bo’ladi. Ohirida

tenglikka ega bo’lamiz. O’ng tomonda P, Q, R funksiyalarda x, y, z – o’rniga ularning orqali ifodalari qo’yilgan deb hisoblanadi