Ii bosqich 206-guruh talabasi qilichova Matlubaning

1.2. Birinchi tur sirt egri chiziqli integrallarning mexanik tatbiqlari.


Agar moddiy sirtlarda massa taqsimlangan bo’lib, bu taqsimot sitning har bir nuqtasida tayin sirt zichligi bilan aniqlangan bo’lsa, yuqorida nomi zikr etilgan integrallar yordamida massani, momentlarni og’irlik markazi koordinatalarini va miqdorlarni aniqlash mumkin.
Biz hozir ko’rib chiqadigan hollar, massa tekislikda taqsimlangan va yuqorida ko’rilgan holdan muhim farq qilmaydi.
Sodda qatlamga tortilish. Sirtda taqsimlangan massaning tortilishini o’rganish davomida birinchi tur sirt integrallari tabiiy tarizda kiritiladi.
(S) sirtda, massa uzluksiz tarizda, sirtning har bir muqtasida berilgan zichlik bilan taqsimlangan bo’lsin. Yana (sirtda yotmagan) nuqtada birlik massa joylashgan bo’lsin. nuqtaning (S) sirtga, Nyuton tortilish qonuni (butun olam tortilish qonuni) asosida, miqdor va yo’nalishi qanday bo’lgan kuch bilan tortilishini aniqlash talab qilinadi.
Agar nuqta birgina massa joylashgan moddiy nuqtagagina tortilsa, u holda tortilish kuchining miqdori

bo’lar edi, bu yerda va nuqtalar orasidagi masofa, ya’ni

Bu uchun dan ga qarab yo’nalgan bo’lgani uchun uning yo’naltiruvchi cosinuslari

bo’ladi va, demak, tortish kuchi ning koordinata o’qlariga proeksiyalari quydagicha ifodalanadi:

Tortuvchi moddiy nuqtalar sistemasi bo’lgan holda bu ifodalar shunday miqdorlarni yig’indisiga almashinar edi; nihoyat, massalar sirt bo’ylab uzluksiz tarizda taqsimlangan hoda esa yig’indi ornida integral paydo bo’ladi.
Odatdagi bayon etish usulini qo’llanamiz: sirtning ds elementida massa bo’lib, u shu elementning biror nuqtasiga joylashgan bo’lsin. Uning nuqtani tortish kuchi o’qlarda [(7) ga solishtiring ] ushbu

proeksiyalarga ega bo’ladi; bu yreda (6) formula orqali ifodalangan masofani bildiradi. Endi bu ifodalarni “jamlash” qoldi, xolos. Natijada sodda qatlamga tortilish kuchi ning o’qlarga bo’lgan proeksiyalari uchun quyidagi formulalariga ega bo’lamiz:

Bu formulalar yordamida kuch miqdor jixatidan ham, yo’nalish jihatidan ham to’la aniqlanadi.
Agar tortiluvchi A nuqtaning o’zi ham (S) sirtda yotgan nuqta bo’lsa, bu holda ham baribir tortilish kuchining o’qlarga bo’lgan proeksiyasi, avvalgidek (8) integrallar bilan ifodalanaveradi-yu, ammo endi bu integrallar xosmas integrallar bo’ldi, chunki hamma integral orasidagi funksiyalar A nuqta yaqinida chegaralanmagan bo’ladi.
Sodda qatlam potensiali. Bitta tortuvchi nuqta bo’lgan holda, yuqorida ko’rdikki, tortuvchi kuchning o’qlarga bo’lgan proeksiyalari (7) ifodalar bilan topilar edi. Bu proeksiyalar

funksiya lar bo’yicha xususiy hosilalari ekaniga ishonch hosil qilish qiyin emas ; bu funksiyani nuqta maydoning A nuqtada Nuyuton potensiali deyiladi [351- dagi (1) ga qarang].
Moddiy nuqtalar sistemasi paydo qilgan maydonning potensiali ham shu ko’rinishdagi kasirlarning yig’indisi sifatida ifodalanadi va shu bilan birga potensialning bo’yicha hosilalari, avvalgidek, tortish kuchining o’qlarga bo’lgan proeksiyalarini beradi.
Shularga ko’ra, (S) sirt bo’yicha joylashgan va zichligi bo’lgan sodda qatlamining A nuqtaga potensiali uchun ushbu

ifodaga ega bo’lishimiz tabiydir.
Faqat bir savol tug’uladi: bu potensial uchun asosiy xossa

saklanadimi? Bu yerda lar sodda qatlamga tortilish kuchi init uqqa bo’lgan proeksiyalari bo’lib (8) formulalar bilan aniqlanadi.
Agar A nukta sirtda yotmagan bo’lsa, yani uzluksizlik shartlarining hech biri buziamagon bo’lsa. (9) integral va bo’yicha differensiallashda Leibnis qoidasini qo’llanish mumkinligini (buning uchun bizga ma’lum bo’lgan mulohazalarni takrorlash kerak, holos) ko’rsatish oson. Massa taqsimotining ko’rilayotgan holi uchun (10) munosabatning o’rinli ekanligini ham shu yo’sinda ko’rsatiladi.
Misollar. 1) Bir jinsli (p = const) sferik qatlamga nuqtaning tortilish kuchi topilsin.
Echim. Sfera markazi koordinata boshida vatortiluvchi A nukta (massasi 1 ga teng) o’qining musbat qismida koordinata boshida masofada joylashgan bulsin. Tortilish kuchining va qklariga bo’lgan proyeksiyalari va ravshanki, nolga teng. Sungra:

ga egamiz ( nuqta bilan sferaning ixtiyoriy nuqtasi orasida masofa).Sferik koordinatalari:

ga o’tsak, y holda

va

munosabat o’rinli. Bu ifodani almashtirish yordamida ushbu ko’rinishga keltiramiz:

Endi ushbu ikki holni ko’raylik:
aDemak , bir jinsli sferik qatlam Ichida joylashgan nuqta bu qatlamga tortilmas ekan .(1) Agar bo’lsa , bo’ladi , va shunga ko’ra,

Shunday qilib bir jinsli sferik qatlamdan tashqarida joylashgan nuqta unga shunday kuch bilan tortiladiki, bu kuch shu nuqtaning qatlam massasi
ni svera markaziga joylashtirgandagi tortilish kuchiga tengdir .
2) Bir jinsli sferik qatlamning ixtiyoriy olingan nuqtadagi potensiyali topilsin .
Yechish . Avvalgi belgilashlarga


ga egamiz.
Agar bo’lsa, bo’ladi, ya’ni bir jinsli sferik qatlam ichidagi uning potensiali o’zgarmas miqdordir.
Aksincha, bo’lganda, , ya’ni bir jinsli sferik qatlamning tashqi fazoda hosil qilgan potensiali uning hamma massasini markazga ko’chirish bilan o’zgarmaydi.
Eslatma. a=R bo’lgan holda ikkala masalada ham hosmas sirt integrallari deb ataluvchi integrallarga duch kelinadi, chunki bu holda integral ostidagi funksiya cheksizlikga aylanadi.