Maple dasturi yordamida aniqmas va aniq integrallarni hisoblash

_Eshtemirov S., Boymurodov D.


Maple dasturi yordamida aniqmas va aniq integrallarni hisoblash

	MUNDARIJA
1 – §	Aniqmas integral ………………………………………………………….……….	4
2 – §	Aniqmas integralda o’zgaruvchini almashtirish ……………………………....	6
3 – §	Bo’laklab integrallash …………………………………………………………...	8
4 – §	Aniqmas integralni taqribiy hisoblash ………………………………..………..	9
5 – §	Aniq integral ……………………………………………………………….……….	11
6 – §	Aniq integralni taqribiy hisoblash. Trapetsiyalar va parabolalar formulasi	16
7 – §	Chegaralari o’zgaruvchi bo’lgan aniq integrallar. Parametrga bog’liq integrallar ………………………………………………………….………………..
		18
8 – §	Xosmas integrallar ………………………………………………………...……….	19
9 – §	Karrali integrallar …………………………………………………………...……..	22
10 – §	integrand funksiyasi ………………………………………………………………	27
11 – §	1 – tur egri chiziqli integral ……………………………………………………….	28
12 –§	Kompleks argumentli funksiyaning integrali …………………………………	29

Maple Integral
Funksiya integrali Matematik analizning, umuman matematikaning barcha tarmoqlarida keng qo’llanishga ega bo’lgan asosiy tushunchalaridan biri. Bugungi kunda amaliyotda bir qancha matematik dasturlar (Mathcad, Maple, Mathematica, Mathlab va boshqalar) matematik masalalarni kompyuter imkoniyatlaridan foydalanib yechishda samarali natijalarni bermoqda. Shular jumlasiga funksiyaning aniqmas integralini hisoblashni kiritish mumkin.
Maple dasturi yordamida funksiyaning aniqmas integralini topishda quyidagi buyruqdan foydalaniladi:
>int(f,arg);
Bunda f – integral ostidagi funksiya, arg – f funksiyaning argumenti, ya’ni integral hisoblanayotgan o’zgaruvchi. Misollar keltiramiz:

>restart;

>int(tan(x),x);

>int(x-1,x);

>int(sin(t)*t-ln(t),t);

>int(a*x^2+b*x+c,x);

>int(a*x+b,a);

>int(a*x+b,b);

>int(x^x,x);
ln( cos( x ) )


¹ x²  x
2


sin( t )  t cos( t )  t ln( t )  t


¹ a x³  ¹ b x²  c x
3 2


¹ a² x  b a
2


a x b  ¹ b²
2




^x^x dx


Keltirilgan misollarda ko’rish mumkinki, Maple funksiyaning aniqmas integralida qatnashuvchi o’zgarmas miqdor C ni chiqarmaydi. Bizga ma’lumki, o’zgarmas miqdor C funksiyaning aniqmas integralida ozod had sifatida qatnashgani uchun bizlar uni bor deb hisoblashimiz mumkin.

Yana shuni aytish mumkinki, Maple dasturi ba’zi funksiyalarning aniqmas integralini topa olmaydi. Bunday hollarda natija sifatida integralning analitik ko’rinishini beradi.

Agar int so’zidagi i harfi bosh harf ko’rinishida Int kabi yozilsa, natijani boshlang’ich funksiya ko’rinishida emas, balki integralning o’zining ko’rinishini beradi.

>restart;

>Int(abs(x),x);

>Int(t*ln(t)-2*exp(t),t);

>value(%);

>value(%%%);

^_ x dx


^t ln( t )  2 e^t dt



¹ t² ln( t )  ¹ t²  2 e^t
2 4


^_  ¹ x² x  0


_ 2
_ 1 _x2
_{ 2}

0  x

value funksiyasi berilgan integral Int shaklida yozilganda uning qiymatini aniqlaydi. Boshqacha aytganda, Maple dasturida evalf funksiyasi haqiqiy argumentli funksiyaning qiymatini aniqlasa, value funksiyasi esa berilgan integralning qiymatini aniqlaydi.
Quyida keltirilgan misollarni mustaqil tahlil qiling:

>restart;

> Int(tan(x)/(1-sin(x)),x)=int(tan(x)/(1-sin(x)),x);

tan( x ) _{dx } 1 _ 1 _ 1 _{ln tan}
¹ x ^_  1 ^_  ¹ ln
tan^_ ¹ x ^_  1 ^_

 1  sin( x )
²  ¹ 
₂ _
_{ 2} _
 ₂ _
_{ 2} _ _

^_ tan^_ ¹ x ^_  1 ^_
tan_{ 2} x _  1

_ _{ 2} _ _{  }

>Int(sin(t)/t,t)=int(sin(t)/t,t);

^{ sin( t )} dt  Si( t )


 t


>Int(exp(y)/y,y)=int(exp(y)/y,y);

_{ e}y


_{ y} dy  Ei( 1, y )




>Int(Int(x*(1-x^2),x),x)=int(int(x*(1-x^2),x),x);

^_x ( 1  x² ) dx dx   ¹ x⁵  ¹ x³

__
20 6

Maple muhitida max(a,b,…,c) va min(a,b,…,c) buyruqlari mos ravishda berilgan a,b,…,c miqdorlardan eng kattasini va eng kichigini aniqlaydi. Bu funksiyalarda a, b, …, c miqdorlar son, funksiya, ko’phad yoki algebraik ifoda bo’lishi mumkin. Yanada aniq qilib

aytadigan bo’lsak, matematikada o’zaro taqqoslashning iloji bo’lgan ifodalar bo’lishi mumkin. Quyida misollar keltirilgan.

> max(-3,5);

> min(-3,5);

> max(7,9.4,-56,12);

> min(45,-123,98);

> max(sqrt(2),3^(1/3));

> max(x^2+5*x,6);

• convert(%,piecewise);

5

-3

12

-123

₃( 1/3 )


max( 6, x²  5 x )

_ ^{x2  5 x}
x  -6

^_ ⁶
x  1

^_ x²  5 x
1  x

• convert(min(x^2-3*x+2,x+5),piecewise);

_ x  5
x  2 

_ ^{x2  3 x  2}
x  2 

_^ x  5
2   x

• Int(max(x^2-5*x,-6),x)=int(max(x^2-5*x,-6),x);

_ _
² x³  ⁵ x²
x  2 ^_

 ^{3 2} 






_ 
_max( -6, x²  5 x ) dx  x max( -6, x²  5 x )  _{ }


undefined
-14
3
undefined
x  2 _


 x  3 _ x  3 ^

^{ 2} x³  ⁵ x²  ¹ 3  x ^

• convert(%,piecewise);

_ _{ 3 2 6} _

^_ x ( x²  5 x )  ² x³  ⁵ x²
x  2

 ^x


^{ 2}  5 x



x  2 ^
3 2
undefined
14


x  2

_ -6
x  3 dx  _
6 x  ₃
x  3


_^_ x²  5 x
^{3  x} 

undefined
x  3

^ x ( x²  5 x )  ² x³  ⁵ x²  ¹
3  x

_^ 3 2 6

Aniqlanish sohasida bir nechta bo’laklarga bo’lib berilgan funksiyaga bo’lakli funksiya deyiladi. Masalan,
π
sin 𝑥 , 𝑥 <
2

𝑓⁽𝑥⁾ =
𝑥² − 1, ^π ⩽ 𝑥 < π 2
_𝗅 𝑥 + 3 , 𝑥 ⩾ π

funksiya uchta bo’lakdan iborat bo’lib, bu bo’laklarning har biri argumentning ko’rsatilgan oralig’ida funksiyadir. Shuning uchun ham bo’lakli funksiyalarning har bir bo’lagi funksiya bo’ladi. Maple muhitida bo’lakli funksiya quyidagicha yoziladi:

• 
  piecewise(c1,f1,c2,f2,c3,f3,…,otherwise);
  

bunda c1, c2, c3 lar shartlar , f1, f2, f3 lar esa berilgan bo’lakli funksiyaning funksiyalari bo’lib, otherwise yozilishi shart bo’lmagan qo’shimcha parametr. Masalan, yuqoridagi keltirilgan bo’lakli funksiya Mapleda quyidagicha yoziladi:

• piecewise(x
  and x
  =Pi,x+3);

^_ sin( x )

^ x²  1

x  ¹ 
2
¹   x  0 and x    0 2

_^ x  3
  x

Bo’lakli funksiyaning aniqmas integrali deyilganda, uning har bir bo’lagining aniqmas integrallaridan tuzilgan va uzluksiz bo’lgan bo’lakli funksiya tushuniladi. Masalan, yuqoridagi bo’lakli funksiyaning aniqmas integrali
π
_ﻟ − cos 𝑥 , 𝑥 < ₂

I
𝐹⁽𝑥⁾ = ∫ 𝑓⁽𝑥⁾ 𝑑𝑥 =
❪
_𝑥3



3
π³ π
− 𝑥 − + 24 2
π
, ⩽ 𝑥 < π 2

_I𝑥2
_{𝗅 2} + 3𝑥 +
7π³
−
24
π² 7π
− , 𝑥 ⩾ π 2 2

bo’ladi. Tekshirib ko’rish mumkinki, 𝐹⁽𝑥⁾ uzluksiz funksiya.
Maple muhitida bo’lakli funksiyalarning aniqmas integrali ham int funksiyasi orqali aniqlanadi. Quyida misollar keltirilgan.