Ii bosqich 206-guruh talabasi qilichova Matlubaning

1-Bob. 1.1. Birinchi tur sirt egri chiziqli integrallarning ta`rifi.


Birinchi tur sirt integrali tarifi. Birinchi tur egri chiziqli integrallar oddiy aniq integrallarning qanday umumlashtirilishi bolsa, birinchi tur sirt integrallari ham ikki karrali integrallarning shunday tabiy umumlashtirilishi idir.
Bu umumlashtirilishi quyagicha bo’ladi. Bo’lakli-silliq kontur bilan chegaralangan ikki tomonli silliq (yoki bo’lakli-silliq) sirt nuqtalarida funksiya aniqlangan bo’lsin. sirtni ixtiyoriy tarizda o’tkazilgan bo’lakli-silliq yangi chiziqlar turi yordamida qisimlarga ajratamiz. Har bir (i=1, 2, ... , n) qismdan ixtiyoriy nuqta olib, funksiyaning shu nuqtadagi qiymatini hisoblaymiz :

va uni sirtning tegishli qism yuzasi ga ko’paytiramiz. Barcha shunday ko’patmalar yigindisini tuzamiz:

uni-avval ko’rilgan shunga o’xshash ko’pkina yig’indilar singari integral yig’indi deb ataymiz.
Bu yig’indining barcha qismlar diametirlari nolga intilgandagi chekli limiti funksiyadan (S) sirt bo’yicha olingan (birinchi tur*) sirt integrali deyiladi va

simvol bilan belgilanadi ,bu yerda dS elementar yuzlarni eslatadi.
Oddiy ikki karrali integralga keltirish. (S) sirt sodda va silliq bo’lgan hol bilan chegaralanamiz.
(S) sirtning nuqtalarida uzluksiz bo’lgan har qanday funksiya uchun(1) integral mavjud bo’ladi va


tenglik o’rinlidir.
Shunday qilib, birinchi tur sirt integralini odatdagi ikki karrali integralga keltirish uchun koordinatalarni ularning parametrik ifodalari bilan yuz elementi dS ni esa uning egri chiziqli koordinatalardagi ifodasi bilan almashtirishgina kerak, xolos.
Aytilgan fikirning isbotiga o’taylik.
Yuqorida qayd qilingandek, (S) sirtining bo’lakli-silliq chiziqlar yordamida bo’laklarga ajralishiga sohaning har shunday bo’laklarga ajralishi mos keladi va aksincha. Xuddi, shu kabi, agar (S) ning bo’laklari diametrlari nolga intilsa, u holda ( ) ning bo’laklari diametrlari ham nolga intiladi va aksinch.
Mos ravishda (S) sirtni bo’laklarga, ( ) sohani bo’laklarga ajratamiz va har bir bo’lakda bitta nuqta, bo’lakda ( ) nuqtaga mos keladigan nuqta tanlaymiz, ya’ni

Endi (1) integral uchun integral yig’indi tuzamiz:

366- dagi umumiy (5a) formulaga binoan

bo’ladi.
O’rta qiymat haqidagi teoremani qo’llasak,

ga ega bo’lamiz, bu yerda ( ) –( ) sohaning birorta nuqtasi.
( ) uchun ifodadan foydalanib va (3) ni etiborga olib, yig’indini quyidagicha yoza olamiz:

Bu ko’rinishda (2) dagi ikkinchi integral uchun integral yig’indi

ni eslatadi. va orasidagi tafovut shundaki, da murakkab funksiya ham, ildiz ham har doim ixtiyoriy tanlov olingan nuqtada hisoblanadi, da esa funksiya nuqtada, ammo esa nuqtada (bu o’rta qiymat haqidagi teoremaga ko’ra tanlangan va shuning uchun ixtiyoriy emas) hisoblanadi.

e > 0 ixtiyoriy kichik son bo’lsin, funksiyaning (tekis) uzluksizligiga ko’ra, sohalarining diametrlari yetarlicha kichik bo’lganida

Uzluksiz funksiyaning chegaralanganligi

ni etiborga olsak

ni hosil qilamiz. Bundan

Demak, ravshanki, bu yig’indilardan birining limiti mavjudligidan ikkinchisining ham o’sha limitga teng limiti mavjud ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib, bizning tasdiq isbotlandi.
Agar (S) sirt oshkor tenglamasi bilan berilgan bo’lsa, (2) formula ushbu

Ko’rinishga ega bo’ladi, bu yerda (D) - (S) sirtning xy tekisligiga bo’lgan proeksiyasini bildiradi.
(4) formulani (bu yerda odatdagidek, sirt normali bilan
o’qi orasidagi burchakdir ) tenlikdan foydalanib quydagicha yoza olamiz:

Biz hozirda qadar, integral olingan (S) sirtni sodda va silliq deb faraz qilgan edik. Natijalariniz chekli sondagi shunday bo’lakchalardan tuzulgan sirtlar uchun ham osongina tatbiq qilinadi.