Ii. Оптимальные разностные формулы в пространстве

2.1. Оптимальные явные разностные формулы в фактор пространстве Соболева .
В этом параграфе с помощью алгоритма приведенного в первой главе будут построены оптимальные явные разностные формулы в фактор пространстве Соболева .
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 2.1. В фактор пространстве Соболева существует единственная оптимальная явная разностная формула типа Адамса, коэффициенты которой определяются формулами


Отсюда следует что оптимальная явная разностная формула в имеет вид

Теорема 2.2. В фактор пространстве Соболева разностная формула Эйлера является оптимальной.
Доказательство теоремы 2.1.
Для доказательства этой теоремы мы будем использовать алгоритм приведенный в главе 1.
Рассмотрим явные разностные формулы вида
(2.1)
с функционалом погрешности
(2.2)
в пространстве . Здесь дельта функция Дирака, и коэффициенты разностных формул вида (2.1). Будем рассматривать функцию принадлежащую гильбертову пространству Соболева . Гильбертово пространство класс вещественных функций отличающийся на полином степени с производными (в смысле обобщенных функций) порядка квадратично интегрируемыми на интервале и скалярным произведением

Полунорма в пространстве Соболева задается формулой

Известно [1], если пространство вложено в пространство непрерывных функций, то линейным будет и функционал погрешности разностной формулы


где дельта функция Дирака. Задача о построении разностной формулы вида (2.1) в функциональной постановке состоит в нахождении такого функционала (2.2), норма которого в пространстве минимальна. Оптимизация вычислительных алгоритмов рассмотрена в работах [1]-[19].
Известно [5], что устойчивость в смысле Далквиста так же, как и сильная устойчивость, определяется только коэффициентами , По этой причине наш поиск оптимальной формулы связан лишь с изменением . Поэтому мы в этом параграфе рассмотрим разностные формулы типа Адамса, т.е. , , , . Как показано в работе [19] норму функционала погрешности (2.2) разностной явной формулы (2.1) минимизируя по коэффициентам в пространстве , получаем систему линейных алгебраических уравнений
(2.3)
(2.4)
Здесь неизвестная константа, оптимальные коэффициенты. Учитывая, что , , , систему (2.3), (2.4) приводим к виду.
(2.5)
(2.6)



(2.7)
Считая, что при и систему (2.5), (2.6) перепишем в виде уравнений в свёртках
(2.8)

Обозначим через

Из (2.8) следует, что

Теперь вычисляя свёртку имеем

При получим



при
.
Тогда, функция принимает вид

Неизвестные и определим из условий
(2.9)
или из равенства вида

.
В обоих случаях и определяются единственным образом. Рассмотрим первый случай. Для этого используем известной формулой [3]
(2.10)
Вычислим свёртку



Тогда учитывая (2.9) при и имеем

Отсюда в силу (2.10) получаем



Из второго способа, т.е.


В итоге мы показали, что в двух случаях значения совпадают.
Из первого способа

Из второго тоже самое, т.е.

И так

Теперь вычислим оптимальные коэффициенты
.
Пусть тогда




И так .
Вычислим .



И так
Вычислим при .
Окончательно получим, что оптимальные коэффициенты разностных формул в фактор пространстве имеют вид

И так мы доказали, теорему 2.1. Отсюда немедленно следует теорема 2.2.
2.2. Оптимальные неявные разностные формулы типа Адамса в фактор пространстве Соболева .
В этом параграфе с помощью приведенного в главе 1 алгоритмом будут построены оптимальные неявные разностные формулы в фактор пространстве Соболева .
Справедлива следующая теорема.