Ii. Оптимальные разностные формулы в пространстве

Теорема 2.4. Квадрат нормы функционала погрешности оптимальной явной разностной формулы вида (2.1) в фактор пространстве выражается формулой

Доказательство теоремы 2.4.
Для этого будем использовать выражение квадрата нормы функционала погрешности явной разностной формулы.
Известно [19], что квадрат нормы явной разностной формулы типа Адамса выражается равенством


(2.22)
В этом параграфе мы будем заниматься вычислением квадрата нормы (2.22) в случае , т.е. в пространстве . Для этого будем использовать коэффициенты
(2.23)
и
(2.24)
При формула (2.22) принимает вид


(2.25)
Пользуясь формулами (2.23) и (2.24) последовательно вычисляя, выражение (2.25) приводим к виду






И так мы доказали теорему 2.4.

2.4. Норма функционала погрешности неявной оптимальной разностной формулы типа Адамса в пространстве Соболева .

В настоящем параграфе будет вычислен квадрат нормы функционала погрешности оптимальной неявной разностной формулы в пространстве т.е. получена оценка погрешности построенной неявной разностной формулы.
Справедлива следующая теорема
Теорема 2.5. Среди всех неявных разностных формул вида (2.11) в пространстве Соболева , существует единственная неявная оптимальная разностная формула, квадрат нормы функционала погрешности которой определяется равенством

В этом случае квадрат нормы функционала погрешности неявной разностной формулы типа Адамса вида (2.11) выражается равенством

(2.26)
В настоящем параграфе формулу (2.26) мы будем вычислять при т.е. в фактор пространстве Соболева .
Здесь будем использовать оптимальные коэффициенты неявной разностной формулы вида (2.11), т.е. формулами
(2.27)
и
(2.28)
В случае формула (2.26) принимает вид


(2.29)
Подставляя в формулу (2.29) в место и выражения их определяемые формулами (2.27), (2.28) после некоторых упрощений получаем







И так, мы доказали теорему 2.5.
Из теоремы 2.4. и 2.5. следует что квадрат нормы оптимальной неявной разностной формулы при стремящейся к нулю стремится к нулю в четыре раза быстрее чем квадрат нормы оптимальной явной разностной формулы.
Выводы ко второй главе
В настоящей главе диссертации для любого целого построены оптимальные явные и неявные разностные формулы в пространстве . Кроме того, вычислены квадрат нормы функционалов погрешностей оптимальных явных и неявных разностных формул в пространстве , т.е. получены оценки их погрешностей. Следует отметить что в пространстве Соболева построенная оптимальная явная разностная формула оказалась известной разностной формулой Эйлера. Далее с помощью построенных явных оптимальных разностных формул решены конкретные задачи Коши.