Iii. Чизиқли бўлмаган регрессия

2-мисол. Кичик корхоналарнинг йиллик товар обороти ва муомала ҳаражатларининг нисбий даражаси тўғрисида қуйидаги маълумотлар келтирилган:

Йиллик товар обороти, млрд. сўм	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
Муомала ҳаражатларининг нисбий даражаси, %	25,0	23,0	22,0	22,5	22,2	22,0

Жадвал маълумотларига асосан товар обороти ва муомала харажатлари ўртасида тескари боғланиш мавжуд бўлганлиги сабабли боғланиш гипербола тенгламаси орқали аниқланади ва унга мос нормал тенгламалар системасининг ва коэффициентлари қийматини топиш ҳамда ҳосил булган регрессия тенгламасида ҳисоб-китобларни амалга ошириш учун қуйидаги жадвални тузамиз:

Регрессия тенгламасининг ҳисоб-китоби

m/р

Йиллик товар обороти, млн.сўм (x)

Муомала харажатининг нисбий даражаси, % (y)

1	5.0	25.0	0.200	5.000	0.0400
2	6.0	23.0	0.167	3.841	0.0278
3	7.0	22.0	0.143	3.146	0.0204

4	8.0	22.5	0.125	2.813	0.0156
5	9.0	22.2	0.111	2.464	0.0123
6	10.0	22.0	0.100	2.200	0.0100

∑

-

136.7

0.846

1.9464

0.126

136,7

Жадвал маълумотлари асосида нормал тенгламалар системасини тузамиз:



Тенгламаларни ечиб a₀ = 18,8 ва а₁ = 28 натижаларни оламиз. У ҳолда, регрессия тенгламаси қуйидагича бўлади:



Гипербола тенгламасидаги а₁- параметр товар оборотининг 1 млн. сўмга ўзгариши муомала харажатларини қанча ўзгаришга олиб келишини кўрсатади. Бунинг учун регрессия тенгламасидан биринчи тартибли ҳосила олинади:








<sub>

</sub>
Товар оборотининг ҳажми 5млн. сўмдан 6млн. сўмгача ортганда, яъни 1млн. сўмга фарқ қилганда, муомала ҳаражатларининг нисбий даражаси 1,12 фоизга камаяди. Юқори товар оборотига эга бўлган корхоналарда эса муомала ҳаражатлари 0,28 фоизга пасайишига олиб келади.


3-мисол. Дўконларнинг йиллик товар обороти ва товар заҳиралари тўғрисида қуйидаги маълумотлар берилган:

Дўконлар	Товар оборати, млн.сўм	Товар заҳираси, млн.сўм
1	36	2,5
2	50	3,9
3	58	4,1
4	69	4,4
5	74	5,0
6	85	5,8
7	94	6,9
8	99	7,1
9	103	9,2
10	108	8,8
Жами	776	57,7

Жадвал маълумотларига асосан дўконларнинг товар обороти ва товар заҳиралари ўртасидаги боғланишни иккинчи даражали парабола тенгламасида тасвирланг.

Ечиш:
Иккинчи даражали парабола тенгламаси:


Бу тенгламанинг параметрлари ( ) қуйидаги нормал тенгламалар системасини ечиш билан аниқланади:

Нормал тенгламалар системасининг х², х³, х⁴, ху, х²у ўзгарувчиларнинг қийматларини қуйидаги жадвал асосида аниқлаймиз:
Нормал тенгламалар системаси ўзгарувчиларининг қийматларини

ҳисоб –китоби

Дўконлар	Товар обороти, млн.сўм	Товар заҳираси, млн.сўм	x^2	x^3	x^4	ху	x^2 y
1	36	2.5	1296	46656	167916	90,0	3240,0
2	50	3.9	2500	125000	6250000	195,0	9750,0
3	58	4.1	3364	195112	11316496	237,8	13792,4
4	69	4.4	4761	328509	2266714	303,6	20948,4
5	74	5.0	5476	405224	29986576	370,0	27380,0
6	85	5.8	7225	614125	52200625	493,0	41905,0
7	94	6.9	8836	830584	78074896	648,6	60968,4
8	99	7.1	9801	970299	96059601	702,9	69587,1
9	103	9.2	10609	1092727	112550881	947,6	97602,8
10	108	8.8	11684	1259712	136048896	950,4	102643,2
Жами	776	57.7	65532	5867948	326834708	4938,9	447817,3

Ўзгарувчиларнинг қийматларини ўрнига қўйсак қуйидаги нормал тенгламалар системасини оламиз:

Ҳар бир тенгламанинг ҳадларини мос равишда а₀ олдидаги коэффицентларга бўламиз.

Иккинчи тенгламадан биринчи, учинчи тенгламадан иккинчи тенгламани айириб, иккита икки номаълумли тенгламага эга бўламиз:


Ҳар бир тенгламанинг ҳадларини мос равишда а₁ олдидаги коэффицентларга бўламиз:

.
Иккинчи тенгламадан биринчи тенгламани айирамиз:

бундан
а₀ ва а₁ параметрларни ўрин алмаштириш методи билан аниқлаймиз:  



Демак, иккинчи даражали паробола тенгламаси қўйидаги кўринишга эга бўлади:


Ижтимоий-иқтисодий ҳодисалар ўртасидаги боғлиқликни ўрганишнинг муҳим масалаларидан омил ва натижавий белгининг ўзаро боғланиш кучи (зичлиги)ни аниқлашдан иборат. Зичлик корреляцион нисбат, детерминация назарий коэффиценти, корреляция индекси ва корреляция коэффициенти кўрсаткичлари орқали ўлчанади.

Корреляцион нисбат қуйидаги формула билан аниқланади:

бу ерда:
Корреляцион нисбат қанчалик 1 га яқинлашса боғлиқлик кучли ва 0 га яқинлашса кучсиз бўлади.

Детерминция коэффициенти формула билан, корреляция индекси эса формула билан аниқланади.

бу ерда: 

4-мисол. 1- мисолда келтирилган маълумотларга асосан корреляцион нисбат, детерминация коэффициенти ва корреляция индексини ҳисобланг.
Ечиш: Корреляцион нисбат, детерминация коэффициенти ва корреляция индексини ҳисоблаш учун аввало берилган омил ва натижавий белгилар боғлиқлигини ҳамда уни шаклини аниқлаш лозим. 1-мисолнинг ечимида корреляцион боғланиш аниқланган ва у қуйидаги регрессия тенгламаси билан ифодаланган:
.
Корреляцион нисбат, детерминация коэффициенти ва корреляция индексини ҳисоблаш учун қуйидаги жадвални тузамиз:
Корреляцион нисбат, детерминация коэффициенти ва корреляция индексини ҳисоб-китоби

т/р

Ишлаб чиқарилган маҳсулот, минг дона.(х)

Сарф қилинган ёқилғи, тонна (у)

ух=1,16+0,547·x

1	5	4	3,90	-4,10	16,81	-9,29	86,30	0,10	0,01
2	6	4	4,40	-3,60	13,00	-9,29	86,30	-0,40	0,16
3	8	6	5,50	-2,50	6,25	-7,29	53,14	0,50	0,25
4	8	5	5,50	-2,50	6,25	-8,29	68,72	-0,50	0,25
5	10	7	6,60	-1,40	2,00	-6,29	39,56	0,40	0,16
6	10	8	6,60	-1,40	2,00	-5,29	27,98	1,40	1,96
7	14	8	8,80	0,80	0,64	-5,29	27,98	-0,80	0,64
8	20	10	12,10	4,10	16,81	-3,29	10,82	-2,10	4,41
9	20	12	12,10	4,10	16,81	-1,29	1,66	-0,10	0,01
10	24	16	14,30	6,30	39,69	2,71	7,34	1,70	2,89
∑	125	80	80	-	120,26	-	409,18	-	10.74

Корреляцион нисбат тенг:


Детерминция коэффициенти тенг:

Корреляция индекси тенг:

Хусусан, боғланишнинг шакли тўғри чизиқли бўлганда корреляцион боғланишнинг зичлиги чизиқли корреляция коэффиценти орқали аниқланилади ва у қуйидаги формулалар билан ҳисобланади:

; .

5-мисол. 1-мисолда келтирилган маълумотларга асосан корреляция коэффицентини ҳисобланг.
Ечиш: Корреляция коэффицентини қуйидаги формула билан ҳисоблаймиз:


бу ерда:


;



Демак, корреляция коэффиценти тенг:
ёки,

http://fayllar.org