Iii. Чизиқли бўлмаган регрессия

Iii. Чизиқли бўлмаган регрессия моделлари

III. Чизиқли бўлмаган регрессия

3.1. Чизиқли бўлмаган регрессия моделлари

Агар иқтисодий жараёнлар орасида чизиқли бўлмаган муносабатлар мавжуд бўлса, у ҳолда улар мос равишда чизиқли бўлмаган функциялар орқали ифодаланади: масалан; тенг томонли гипербола, иккинчи тартибли парабола, ва бошқалар.

Чизиқли бўлмаган регрессия икки синфга бўлинади:

• тенгламага киритилган ўзгарувчиларга нисбаттан чизиқли бўлмаган, лекин баҳоланувчи параметрлар бўйича чизиқли регрессиялар;

  
  

• аниқланувчи параметрлар бўйича чизиқли бўлмаган регрессия.

  
  

Киритилган ўзгарувчиларга нисбаттан чизиқли бўлмаган регрессияга қуйидаги функциялар мисол бўла олади:

- турли даражали полиномлар, -

• тенг томонли гипербола - мисол бўла олади.

  
  

Баҳоланувчи параметрлар бўйича чизиқ бўлмаган регрессияга:

- даражали -

- кўрсаткичли - ;

- экспоненциал - - функциялар мис бўла олади.
Тенгламага киритилган ўзгарувчилар бўйича чизиқли бўлмаган регрессиянинг параметрларини баҳолаш кўп қийинчиликларни юзага келтирмайди. Улар чизиқли регрессиядаги каби энг кичик квадратлар усули (ЭККУ) билан аниқланади.

Иккинчи даражали параболада тенгламасида

ўзгарувчиларни , деб алмаштириб қуйдаги икки омилли чизиқли регрессия тенгламасини оламиз;

Мос равишда учинчи, тўртинчи ва ҳоказо тартибли полиномлари ушбу усулни қўллаб, уч, тўрт ва ҳоказо омилли чизиқли регрессия моделларини олиш мумкин.

Мисол учун , тартибли полиномда

, кўп омилли чизиқли регрессия моделини ҳосил қиламиз. Ушбу тенгламаларнинг параметрларни ЭККУ билан ҳеч қандай қийинчиликсиз аниқлаш мумкин.
Тажрибалар шуни кўрсатадики чизиқли бўлмаган регрессиялар ичида кўпроқ иккинчи тартибли парабола айрим ҳолларда учинчи тартибли парабола ишлатилади. Юқори тартибли полиномларни қўллашдаги чегараланишлар ўрганилаётган тўпламнинг бир жинслилиги билан боғлиқ, полином даражаси қанча юқори бўлса эгри чизиқдаги синишлар шунча кўп бўлади ва мос равишда натижавий белги тўплами ҳам бир жинсли бўлмайди. Ундан ташқари маълумотларни тўплашда ва ҳисоблашларда ноаниқликлар келтириб чиқаради.

Иккинчи тартибли параболани агарда маълум бир оралиқда омил белгининг қийматлари қаралаётган ўзгарувчининг боғланиш хусусиятини ўзгаришига: яъни тўғри боғланишни тескари боғланишга, тескари боғланишни тўғри боғланишга олиб келадиган ҳолатларда қўллаш мақсадга мувофиқ. Бундай ҳолатларда омил белгининг натижавий белгини экстримал (максимал ёки минимал) қийматга эриштирувчи қиймати аниқланади.

Бунинг учун иккинчи даражали параболанинг ҳосиласи нолга тенглаштирилади; яъни дан ҳосила оламиз ва , бундан ҳосил бўлади.
Агар берилган маълуматлар боғланиш йўналишини ўзгаришини таъминлай олмаса, у ҳолда иккинчи тартибли парабола параметрларининг маъносини тушиниш қийин бўлади. Бундай ҳолатда боғланиш шакли бошқа чизиқли бўлмаган модель билан алмаштирилади.

Иккинчи даражали параболанинг парамерларининг қийматларини топиш учун ЭККУни қўллаб қуйдаги нормал тенгламалар тизимини математиканинг бирор бир усулини қўллаб ечишга олиб келади:

ва бўлганда эгри чизиқ энг юқори нуқтага, яъни эгри чизиқнинг синиш, боғланиш йўналишини ўзгартириш нуқтасига нисбаттан симметрик бўлади, айнан ўсиш пасайишига ўзгаради. Бундай функцияларнини иқтисодиётда жисмоний меҳнат билан шуғулланувчи ишчиларнинг иш ҳақини уларнинг ёшига боғлиқлигини ўрганишда кузатиш мумкин: Ишчиларнинг ёши катталашиб борган сари уларнинг тажрибаси ортиши билан бирга уларнинг малакаси ҳам юқорилашиб иш ҳақи кўпайиб боради. Лекин маълум бир ёшдан бошлаб организимни қариши натижасида меҳнат самарадорлигини пасайиши ишчининг иш ҳаққини пасайишига олиб келиши мумкин.

Агар ўзаро боғланишнинг параболик шакли натижавий кўрсаткични аввл ўсишини, сўнгра пасайишини намоиш этса, у ҳолда омил белгининг натижани максимумга эриштирадиган қиймати топилади. Масалан, оилада махсулот (бирлигини) даромад даражасига боғлиқ ҳолда истеъмол қилиниши тенглама билан тавсифлансин.

Биринчи тартибли ҳосиласини нолга тенглаб , максимал истеъмол миқдорини берувчи даромад қийматини топамиз, яъни минг сўмда истеъмол максимал даражага етади.

ва бўлганда иккинчи даражали парабола ўзининг энг қуйи нуқтасига симметрик бўлади. Бундай ҳолат функциянинг боғланиш йўналишини (камайишни ўсишга) ўзгартирувчи энг кичик қийматни топиш имконини беради. Фараз қилайлик ишлаб чиқариш ҳаражатларини ишлаб чиқарилган махсулот ҳажмига боғлиқлиги қуйидаги тенглама билан тавсифлансин:

,

у ҳолда энг кам ҳаражатга махсулот бирлиги ишлаб чиқарилганда эришилади .

Бунга қуйидаги жадвалдаги нинг қийматларини тенгламага қўйиб кўриб ишонч ҳосил қилиш мумкин:

	10	11	12	13	14	15	16	17
	800	782	768	758	752	750	752	758

Иккинчи тартибли парабола эгри чизиғи симметрик бўлганлиги сабабли у аниқ тадқиқотларда ҳар доим ҳам қўлланилавермайди. Тадқиқотчи кўпинча параболанинг тўлиқ шакли билан эмас балки, унинг айрим сегментидан фойдаланиб иш юритади. Параболик боғланишнингпараметрлари ҳар доим ҳам мантиққа эга бўлавермайди. Шунинг учун боғланиш графиги иккинчи тартиблипараболани аниқ ифодаламаса, у бошқа чизиқли бўлмаган функцияга алмаштирилади, масалан даражали функцияга. Иккинчи тартибли кўпроқ қишлоқ хўжалигида хосилдорликни берилган ўғитлар миқдорига боғлиқлигини тавсифлаш учун қўлланилади. Боғланишнинг бу шакли шу билан асосланадики, -ўсимликка берилаётган ўғитнинг миқдори ортиши билан ҳосилдорлик, фақат берилаётган ўғитнингмиқдори оптимал дозасига етгунга қадар ошиб боради, дейилади. Дозанинг кейинги ортиши ўсимлик учун зарар ва ҳосилдорликни камайишига олиб келади. Шунинг учун амалда бундай боғланиш кўпроқ параболанинг сегменти кўринишида берилади.

Мисол сифатида 3.1-жадвал маълумотларини кўриб чиқамиз.