Iii. Чизиқли бўлмаган регрессия

3.1-жадвал

Буғдой ҳосилдорлигии бериладиган ўғит миқдорига боғланиши

Берилган минерал ўғит миқдори, ц/га, х

Ҳосилдор-лик, ц/га, у

1	2	3	4	5	6	7	8
1 2 3 4 5	6 9 10 12 13	1 4 9 16 25	1 8 27 64 125	1 16 81 256 625	6 18 30 48 65	6 36 90 192 325	6,2 8,5 10,4 11,9 13,0
	50	55	225	979	167	649	50

3.1-жадвал маълумотлар бўйича тузилган нормал тенгламалар тизими қуйидагича:


Ушбу системани ечиб иккинчи тартибли параболанинг параметрларини қийматларини топамиз ва қуйидаги регрессия тенгламасини ҳосил қиламиз:




нинг қийматларини кетма-кет тенгламага қўйиб, нингназарий қийматларини топамиз (3.1-жалвалнинг 8-устуни).

Чизиқли бўлмаган функциялар синфида параметрларнинг қиймати ҳеч қандай қийинчиликсиз ЭККУ билан аниқланадиган функция сифатида, эконометрикада маълум бўлган, тенг томонли гипербола ни кўриш мумкин. Бунга классик мисол сифатида ишсизлик меъёри ва иш ҳақи нинг ўсиш фоизи орасидаги муносабатини тавсифловчи Филлипс эгри чизиғи келтирилади:

.
Инглиз иқтисодчиси А.В.Филлипс 100 йилдан кўпроқ даврдаги маълумотларни тахлил қилиб XX асрнинг 50-йиллари охирида иш ҳақини ўсиб бориши даражаси, ишсизлик даражасига нисбатан тескари боғланганлигани аниқлаган.


кўринишидаги тенг томонли гиперболада ни билан алмаштириб чизиқли регрессия тенгламасини оламиз. Унинг параметрларини ЭККУ билан аниқлаш мумкин .
Ушбу функция учун нормал тенгламалар тизими қуйдагидан иборат:




бўлганда тескари боғланиш бўлиб, бўлганда параметр билан баҳоланадиган ўзиниг энг кичик қийматига эришади.

функцияси билан ифодаланувчи Филлипс эгри чизиғида параметрнинг қиймати 0,00679га тенг, бу ишсизлик даражасининг ўсиши билан иш ҳақининг қўшимча ўсиши суръати нолга интилишини кўрсатади.

бўлиб чексизга интилганла ( ∞) юқори асимптотага эга бўлган секин ўсувчи, яъни тенгламада параметр баҳо берадиган нинг максимумга эришувчи функцияга эга бўламиз.

Мисол сифатида умумий ҳаражатлар (ёки даромадлар) билан узоқ муддатли товарларга ҳаражатлар улуши орасидаги боғланишни кўриш мумкин. Бундай боғланишнинг математик ёзуви Энгел эгри чизиғи деб ном олган. 1857 йилда немис статистиги Э. Энгел оила ҳаражатларини ўрганиш асосида: даромадни ортиши билан даромаднинг озиқ-овқатларга сарф қилинадиган улуши камайиб бориш қонуниятини аниқлаган. Мос равишда даромаднинг ортиб бориши билан даромаднинг ноозиқ-овқат маҳсулотларига сарф қилинадиган улуши ортиб боради. Лекин бу ўсиш чегарасиз бўлмайди, яъни бирдан катта ёки 100%дан кўп бўлмайди. Айрим товарлар учун бу чегара тенгламнинг параметри билан тавсифланади. Ушбу тенгламада;

-ноозиқ-овқат товарларига ҳаражатлар улуши;

-даромад.

Тенг томонли параболада ва параметрлар қуйидагича ҳисобланади:

Энгел эгри чизиғининг моделини ёзиш учун кўринишдаги ярим логарифмик функциялар ҳам қўлланилади (1943 й. Уоркинг ва 1964 й. Лизер).

ни z билан алмаштирсак яна кўринишидаги чизиқли тенгламани оламиз. Ушбу функция аввали функция каби параметрлар бўйича чизиқли асосий ўзгарувчи бўйича чизиқли эмас. ва параметрларни ЭККУ ёрдамида аниқлаш мумкин. Бунда нормал тенгламалар тизими қуйидагича бўлади:


Ярим логарифмик функцияни оиланинг даромадидаги умумий ҳаражатлар билан узоқ муддатли фойдаланиладиган товарларга ҳаражатлар улуши орасидаги боғланишни қуйидаги жадвал маълумотлари асосида ифодалашга қўллаб кўрамиз.