Ўзгармас коэффициентли чизиқли бир жинсли бўлмаган дифференциал тенгламада ўзгармасни вариациялаш усули

Ўзгармас коэффициентли чизиқли бир жинсли бўлмаган дифференциал тенгламада ўзгармасни вариациялаш усули (Лагранж усули).
(1)

(1) тенглама ўзгармас коэффициентли эмас. (1) тенглама бир жинсли қисмининг ечими

(2) бўлсин ларни х нинг функцияси деб қараймиз.

(3) деб тенгламалар системасини тузамиз.

(4)

Системадан ларни топиб (2) тенгликка қўйсак (1) тенгламанинг умумий ечими ни топамиз. Бу усулни ўзгармас коэффициентли дифференциал тенгламага ҳам қўллаймиз.

Энди учун

бўлади.

Дифференциал тенгламаларга келтириладиган физик масалалар. Дифференциал тенгламалар назариясининг асосий тушунчалари. Биринчи тартибли дифференциал тенглама.
Табиатшунослик, техника ва механиканинг кўпгина масалалари қаралаётган ҳодиса ёки жараённи тавсифлайдиган номаълум функцияни топишга келтирилади. Бир неча мисол келтирамиз.

1-мисол. Массаси бўлган моддий нуқта оғирлик кучи таъсирида эркин тушмоқда. Ҳавонинг қаршилигини ҳисобга олмасдан, моддий нуқтанинг ҳаракат қонунини топинг.

Ечиш. Моддий нуқтанинг вазияти координата билан аниқланиб, у

1-шакл.
вақтга боғлиқ равшда ўзгаради (1-шакл). Ньютоннинг иккинчи қонунига кўра:

(1.1)

бу ерда -моддий нуқтанинг, -моддий нуқтанинг тезланиши, -таъсир этувчи куч. Шатга кўра моддий нуқтага фақатгина оғирлик кучи таъсир этади, демак, , бу ерда -оғирлик кучи тезланиши, тезланиш эса йўлдан вақт бўйича олинган иккинчи тартибли ҳосиладан иборат. Натижада қуйдагига эга бўламиз:

ёки . (1.2)

(1.2) тенглик номаълум функция нинг иккинчи тартибли ҳосиласини ўз ичига олган тенгламадан иборат. Уни икки марта ўзгарувчи бўйича интеграллаб изланаётган функцияни топамиз:

(1.3)

(1.4)

(1.4) тенглик биз излаётган ҳаракатнинг умумий қонунини беради, ундаги иккита интеграллаш доимийси ва қатнашади. Бу ўзгармасларни нуқтанинг бошланғич ҳолати ва бошланғич тезлинини билган ҳолда аниқлаш мумкин.

Бошланғич =0 моментда нуқтанинг тезлиги га, унинг саноқ бошидан узоқлиги эса га тенг бўлсин. тезликни ифодалаганлиги учун (1.3) дан эканлигини, (1.4) дан эса ни топамиз. Буларни эътиборга олсак моддий нуқта ҳаракатининг хусусий кўриниши қуйидагича бўлади:

. (1.5)