Iii. Соф эгилиш. Нормал кучланишни аниқлаш ва у бўйича балканинг мустаҳкамлигини текшириш

III. Соф эгилиш. Нормал кучланишни аниқлаш ва у бўйича балканинг мустаҳкамлигини текшириш.

Ўтган бобда кўрдикки, эгилишда балканинг кўндаланг кесим юзасида эгувчи момент ва кесувчи куч ҳосил бўлади. Энди, шу кесимлардаги нормал ва уринма кучланишларни аниқлаймиз.

Маълумки нормал кучланиш фақат эгувчи моментга, уринма кучланиш эса фақат кесувчи кучга боғлиқдир. Кучланиш ҳолатини, олдин балкага қўйилган кучлар системасининг ҳамма кўндаланг кесимларида бир хил (Q(x)=0, M(x)=const) бўладиган ҳолни ўрганамиз. Балканинг хусусий оғирлигини ҳисобга олмаганда, бундай ҳол бўлиши мумкин. Масалан, 1-шаклда кўрсатилган консолнинг узунлиги ва 2-шаклда кўрсатилган балканинг ВС оралиғи давомида (Q(x)=0, M(x)=const) бўлади.
Бундай эгилишга, яъни балканинг ёки консолнинг бирор оралиғида кесувчи куч нолга тенг бўлиб, эгувчи момент ўзгармас бўлса , бундай эгилишга соф эгилиш дейилади.
Соф эгилиш ҳолатидаги балканинг кўндаланг кесим юзасининг қайси нуқтасида энг катта нормал кучланиш ҳосил бўлишини билиш учун нормал кучланишларнинг тақсимланиш қонунини текширамиз.
Бунинг учун олдин балка кўндаланг кесим юзасининг камида битта симметрия ўқи куч текислиги билан устма-уст тушувчи ҳолни қараймиз. Демак, бош инерция ўқларидан бири эгилиш текислигида ётади, иккинчисида унга тик йўналган бўлади.




Эп “М(х)”

Эп “Q(х)”

1-шакл. 2-шакл.

Масалани ечиш учун статика билан деформация шартларини биргаликда қараш лозим, тажриба кузатишлари асосида деформация шартлари тузилади.
Балканинг таянчидан z ва z+dz масофада кесимлар олиб, узунлиги dz га тенг элемент ажратиб, унинг ён сиртига бир-бирига тенг ва қарама-қарши йўналган жуфт куч қўйсак. Элемент соф эгилиш ҳолатида бўлади.
Агар соф эгилиш ҳолатидаги балканинг ён сиртига горизонтал ва вертикал тўғри чизиқлар ёрдамида тўр чизилса, деформациядан кейин қуйидагилар намоён бўлади. (3-шакл).
1.Балка ён сиртига чизилган вертикал тўғри чизиқлар деформациядан кейин ҳам тўғри чизиқлигича қолиб, фақат жуда кичик бирор d бурчакка оғади. Бу ҳол чўзилишдаги каби эгилишда ҳам Бернулли гипотезаси ўз кучини сақлашини кўрсатади.
2.Деформациядан кейин, балканинг қавариқ томонидаги толалари чўзилиб, ботиқ томонидаги толалари эса сиқилади.
Балканинг деформацияси, унинг кўндаланг кесими баландлиги бўйича узлуксиз ўзгаргани учун ботиқ томондаги толалар чўзилишдан сиқилишга ўтишда, бу қатламларни ажратувчи шундай бир қатлам топиладики, унда ётувчи толалар чўзилмайди ҳам, сиқилмайди ҳам яъни унинг узунлиги ўзгармайди. Бундай қатламга нейтрал қатлам дейилади.
Нейтрал қатлам текислиги билан кўндаланг кесим текислиги кесишган чизиқ шу кесимнинг нейтрал ўқи дейилади (3 -шакл, в).
Балка деформацияланганда ҳар бир кўндаланг кесим ўз нейтрал ўқи атрофида айланади.
Нейтрал қатламда ётган толанинг эгрилик радиусини билан белгилаймиз. ОX ўқидан бир хил узоқликда ётувчи бўйлама толалар бир хилда деформацияланиб, бу ўқ атрофида кўндаланг кесим юзалари айланади. Натижада элементнинг юқоридаги толалари сиқилиб, пастки толалари чўзилади. Нейтрал қатламдан масофада ётувчи а-а толанинг чўзилиши ҳар бирининг қиймати га тенг бўлган иккита а-в дан иборат бўлади ва ихтиёрий толанинг умумий чўзилиши қуйидагича бўлади.
Шаклдан бўлганлигидан бу ихтиёрий толанинг нисбий чўзилиши қуйидагига тенг бўлади:

3 –шакл.
Балканинг қаватлари деформацияланганда бир-бирига босим кўрсатмайди деб фараз қилсак, яъни балканинг ўқига тик йўналган кучланишлар нолга тенг бўлади. Бундай ҳолда, уларнинг ҳар бири мустақил равишда чўзилади ёки сиқилади. Бундай толалардаги кучланишларни оддий чўзилиш ва сиқилишдаги Гук қонунидан фойдаланиб топамиз:
Демак, эгилишдаги нормал кучланиш балка кўндаланг кесимининг баландлиги бўйича кучланиш топиладиган нуқтадан нейтрал ўққача бўлган масофага пропорционал равишда ўзгарар экан. Бинобарин, энг катта нормал кучланишлар кўндаланг кесимнинг четки толаларида ҳосил (4-шакл, г) бўлади.
Балка кўндаланг кесими юзаси бўйича нормал кучланишнинг тақсимланиш қонунини билганимиздан сўнг, унинг қийматини кесиш усулидан фойдаланиб топамиз. Соф эгилиш ҳолатидаги балкани фикран кесиб, чап қисмини қолдириб, унинг учун мувозанат тенгламаларини тузамиз (5-шакл):
Текшираётган ҳол учун бу тенгламаларни тадбиқ этамиз:
1. бўлади
Бунга (8.1)-формуладан нормал кучланишнинг қийматини қўямиз:



4-шакл.
Бу ифодада икки ҳол бўлиши мумкин, . Балканинг эгилган ҳолатини текшираётганлигимиз учун га тенг бўлмаганлигидан, бўлади. Бу интеграл кўндаланг кесимнинг юзасидан нейтрал ўққа нисбатан олинган статик моментни ифодалайди ва унинг нолга тенг бўлиши, кўндаланг кесимнинг нейтрал ўқи кесимнинг оғирлик марказидан ўтишини кўрсатади.
2. Иккинчи учинчи ва тўртинчи мувозанат тенгламалари айният равишда нолга айланади, чунки зўриқиш кучи , ўқларига нисбатан тик ва ўқига эса параллел йўналгандир.
3. Мувозанат тенгламаларнинг бешинчисини текширамиз:

Бу ҳолда ҳам бўлганлигидан, бўлади. Бу интеграл балка кўндаланг кесим юзасининг ва ўқларига нисбатан марказдан қочирма инерция моментини ифодалайди ва унинг нолга тенг бўлиши эса ва ўқларининг бош марказий ўқлар эканлигини кўрсатади. Демак, куч ётган текислик нейтрал қават текислигига тик бўлар экан. М момент шу бош ўқларнинг биридан ўтган бош текислик устида ётади.
4. Мувозанат тенгламаларининг олтинчисини ёзамиз:

; бундан ,
бунда - кўндаланг кесимнинг нейтрал ўқ (z) га нисбатан олинган инерция моменти;
- нейтрал текисликнинг эгрилигини ифодаловчи миқдор;
М - ташқи момент
ЕJ_z - балканинг эгилишдаги бикрлиги.
Юқорида кўрганимиздек, кўндаланг кесимнинг нейтрал ўқи унинг марказидан ўтади. Демак, балканинг ўқи унинг кўндаланг кесимлари марказий нуқталарининг геометрик ўрнидан иборат бўлганлигидан, у нейтрал текислик устида ётади. Демак, (2) формула кўндаланг кесим нейтрал ўқининг эгрилигини ифодалайди.
Шундай қилиб балка эгилилган ўқининг эгрилиги ( ) эгувчи момент (М) га тескари пропорционал бўлар экан.
(1) формулага (2) формуладан нинг қийматини қўйиб, қуйидагини ҳосил қиламиз: (3)
Соф эгилган балканинг кўндаланг кесимида ётган ихтиёрий нуқтадаги кучланишни шу формуладан фойдаланиб аниқлаш мумкин. Ўтказилган тажрибалар кўрсатадики бу формула билан кесувчи куч нолга тенг бўлмаганда ҳам нормал кучланишни ҳисоблаш мумкинлигини. Лекин бу кучнинг мавжудлиги текис кўнадаланг кесимларни бирмунча қийшайтиради, аммо бу қийшайиш иккита қўшни кўндаланг кесим орасидаги элемент толаларининг бўйлама деформациялари характерини ўзгартирмайди.
6-шаклда турли шаклдаги кўндаланг кесимлар учун нормал кучланишларнинг тақсимланиш қонуни кўрсатилган. 6-шакл, а да нейтрал ўққа нисбатан, симметрик, 6-шакл, б да эса носимметрик кесимлар учун диаграммаси тасвирланган. Нейтрал ўқдан тенг узоқликдаги барча нуқталарда нормал кучланишларнинг қийматлари бир хилдадир. Нейтрал ўқнинг бир томонида кучланиш чўзувчи бўлиб, иккинчи томонида сиқувчидир. Энг катта нормал кучланишлар нейтрал ўқдан энг узоқдаги нуқталарда ҳосил бўлади, уларнинг қиймати эса (3) формулага ни қўйиш йўли билан топилади:

. (4)
Бу формуланинг сурат ва махражини га бўлиб, қуйидагини ҳосил қиламиз.
.
-эгилишдаги қаршилик моменти деб аталади ва W_z билан белгиланади:
W_{z .} (5)
Қаршилик моменти кўндаланг кесимнинг геометрик характеристикаларидан бири бўлиб, унинг миқдори эгилишда балканинг мустаҳкамлигини ифодалайди.
Бу формулада, кўндаланг кесимнинг нейтрал ўққа нисбатан инерция моменти см⁴ билан ўлчанганлиги учун қаршилик моменти W_z см³ билан ўлчанади. (5) формулани ҳисобга олиб, энг катта нормал кучланишни қуйидаги кўринишда ёзамиз.
= . (6)
Бу формуладан кўрамизки, балканинг кўндаланг кесими учун қаршилик моменти қанча кичик бўлса, ундаги нормал кучланиш шунча катта бўлар экан.
Энди оддий кесимларнинг қаршилик моментларини ҳисоблаймиз: