Ikki karrali integral xossalari Reja

Misоl. y=2x+1 funksiyasini x=2 nuqtаdаgi uzluksizligi ko`rsаtilsin
Yechish.  (2x+1)=5; f(2)=5
Uzluksizlik tushunchаsigа e vа d tilidа quyidаgi tа’rif bеrilgаn.
1-ta’rif (Koshi ta’rifi). "e > 0 son uchun shunday d = d(e)>0 son topilsaki, funksiya argumenti x ning |x-x<sub>0</sub>|<d tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida |f(x)-f(x<sub>0</sub>)|<e tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiya x<sub>0</sub> nuqtada uzluksiz deyiladi, f(x)=f(x<sub>0</sub>).
Uzluksiz funksiyaning xossalari
Berilgan f(x) va q(x) funksiyalar X to`plamda aniqlangan bo`lib, x<sub>0</sub>ÎX nuqta X to`plamning limit nuqtasi bo`lsin.
1-teorema. Agar f(x) va q(x) funksiyalar x<sub>0</sub> nuqtada uzluksiz bo`lsa u holda f(x)±q(x), f(x)×q(x), : (q(x)¹0), "xÎX funksiyalar ham x₀ nuqtada uzluksiz bo’ladi.
1-misol. Ushbu f(x)=3x³+sin²x funksiyaning x=R da uzluksizligini ko`rsating.
Yechish. j(x)=x, q(x)=sinx funksiyalar R uzluksiz. Bunda f(x) funksiyani f(x)=3×x×x×x+sinx×sinx ko`rinishda yozamiz, u holda uzluksiz funksiyalar ustidagi arifmetik amallarga ko`ra, f(x) funksiyaning R da uzluksizligi kelib chiqadi.
2-teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo`lsa, u holda [a;b] kesmada funksiya o`zining eng kichik va eng katta qiymatiga erishadi, ya’ni shunday  nuqtalar mavjudki, barcha  lar uchun  va  tengsizliklar o`rinli bo`ladi.
Funksiyani  qiymatini y=f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng katta qiymati deb,  ni esa eng kichik qiymati deb ataymiz. Bu teorema qisqacha bunday ifodalanadi: kesmada uzluksiz
funksiya hech bo`lmaganda bir marta eng katta M qiymatga va eng kichik m qiymatga erishadi.

1. x₀ nuqtaning yetarli kichik atrofida funksiya chegaralangan bo`ladi.

2. Agar f(x₀)¹0 bo`lsa, x<sub>0</sub> nuqtaning yetarli kichik atrofida f(x) o’z ishorasini saqlaydi.
Aytaylik, y=f(x) funksiya X to`plamda va z=j(y) funksiya Y to`plamda aniqlangan bo`lib, ular yordamida z=j(f(x)) murakkab funksiya tuzilgan bo`lsin.
Teorema (murakkab funksiya uzluksizligi haqida). Agar f(x) funksiya x<sub>0</sub> nuqtada, z=j(y) funksiya x<sub>0</sub> ga mos kelgan f(x<sub>0</sub>) nuqtada uzluksiz bo`lsa z=j(f(x)) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz bo`ladi.
Teorema (Boltsano-Koshining 1-teoremasi). Agar f(x) funksiya [a, b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lib, segmentning a va b nuqtalarida har xil ishorali qiymatlarga ega bo`lsa, u holda shunday c (a<c<b) nuqta topiladiki, u nuqtada funksiya 0 ga aylanadi, f(c)=0.
Teorema (Veyershtrassning 1-teoremasi). Agar f(x) funksiya [a,b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, u holda shu segmentda chegaralangan bo`ladi.
Teorema (Veyershtrassning 2-teoremasi). Agar f(x) funksiya [a, b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, funksiya shu segmentda o`zining aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralariga erishadi.