Ikki kаrrаli intеgrаlning tatbiqlаri. Ikki kаrrаli intеgrаl yordamida yuza va jism hajmini hisoblash. Massa, Oʻrta qiymat va inersiya momenti

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI QARSHI FILIALI

Mustaqil ish

Guruh: DI 12-22

Bajardi: Xasanov karim

IKKI KАRRАLI INTЕGRАLNING TATBIQLАRI. IKKI KАRRАLI INTЕGRАL YORDAMIDA YUZA VA JISM HAJMINI HISOBLASH. MASSA, OʻRTA QIYMAT VA INERSIYA MOMENTI.
Rеja:
1. Ikki karrali intеgrаlning geometrik tatbiqlari:
a)tekis shakl yuzini va jism hajmini hisoblash;
b)sirt yuzini hisoblash.
2.Ikki karrali intеgrаlning fizik tatbiqlari:
a)massa va ogʻirlik markazini hisoblash;
b)statik moment va inersiya momentini hisoblash.
1. Ikki karrali integralning geometrik tatbiqlari.

a) Agar D sohada boʻlsa, u holda ikki karrali integral son jihatidan asosi D boʻlgan yasovchilari Oz oʻqiga parallel boʻlgan, yuqoridan sirt bilan chegeralangan Q silindrik jismning hajmiga teng (1- shakl).

(25.1)

1-shakl

1-misol. sirtlar bilan chegaralangan jismning hajmini hisoblang.
Yechish. Berilgan jismni quyidagi koʻrinishda tasvirlash kerak:
bunda ― soha Oxy tekislikning va egri chiziqlari bilan chegaralangan qismi, ya’ni

Ikki karrali integralning geometrik ma’nosiga koʻra, jismning hajmi quyidagicha topiladi:

Xususan, boʻlganda, ikki karrali integral D sohaning yuziga teng, ya’ni
(25.2)
Agar D sohani aniqlaydigan funksiyalar qutb koordinatalar sistemasida berilgan boʻlsa, D sohaning yuzi
(25.3)
formula bilan hisoblanadi.
2-misol. aylanalar bilan chegaralangan soha yuzini toping( aylanadan tashqaridagi qismi, 2-shakl).

2-shakl
_Yechish. A nuqtaning koordinatasini topamiz:

Demak, . U holda





b) Agar silliq sirt qismining xOy tekislikdagi proyeksiyasi boʻlsa, u holda bu sirt yuzini quyidagi formula bilan hisoblanadi:
(25.4)
3-misol. konusning silindr ichidagi qismi yuzini hisoblang.
Y echish. Berilgan konus sirti qismining proyeksiyasi soha silindr asosi boʻlib, aylana cizig`i bilan chegaralangan sohadir(3-shakl).
Yuqoridagi (25.4) formulani funksiya uchun qoʻllaymiz:


u holda izlangan yuza:
3-shakl



2. Ikki karrali intеgrаlning fizik tatbiqlari

Agar D soha modda taqsimotining sirt zichligiga ega, xOy tekislikda yotuvchi qalinligi bir boʻlgan yassi jism boʻlsa, u holda yassi jismninig massasini quyidagi formula bilan hisoblanadi:

(25.5)
Yassi jismning Ox va Oy oʻqlariga nisbatan statik momentlari quyidagi formulalar boʻyicha topiladi:
. (25.6)
Yassi jismning ogʻirlik markazi koordinatalari:
(25.7)
D yassi jismning koordinata oʻqlariga va koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari:
(25.8)
formulalar bilan hisoblanadi.
4-misol. chiziqlar bilan chegaralangan sohaning oʻgirlik markazini toping(4-shakl).

4-shakl
Yechish. Berilgan soha Ox oʻqiga simmetrik boʻlganligi sababli , boladi. ni topamiz. Berilgan soha yuzini hisoblaymiz

U holda, (25.7) formuladan foydalanamiz

5-misol. Sirt zichligi boʻlgan, Ox oʻqi , parabola va toʻg‘ri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli uchburchakdan iborat D yassi jism massasini hisoblang.
Yechich. Yassi jism massasini hisoblash uchun dastlab D sohani aniqlaymiz:

(25.5) formulaga koʻra,




6-misol. zichlikka ega boʻlgan, egri chiziqlar bilan chegaralangan va I chorakda joylashgan yassi jismning koordinata oʻqlariga nisbatan inersiya momentlarini toping.
Yechish. Berilgan D yassi jism 5-shaklda tasvirlangan.

5-shakl
(25.8) formulalarga koʻra quyidagiga egamiz:

Bu integrallarni qutb koordinatalariga oʻtib hisoblash qulay:
egri chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi:
,
egri chiziqning qutb koordinatalaridagi tenglamasi:

U holda burchak dan gacha oʻzgaradi. kesmadan olingan ning har bir qiymatida oʻzgaruvchi dan gacha oʻzgaradi.
Ketma-ket (25.8) formuladan foydalanib, quyidagiga ega boʻlamiz:



Oʻxshash holda quyidagini topamiz:
7-misol. chiziqlar bilan chegaralangan sohaning koordinata boshiga nisbatan inersiya momentini hisoblang.
Yechish. Koordinata boshiga nisbatan inesiya momenti quyidagi formula bilan hisoblanadi: