Ikki o’lchovli integralni qutb kordinatalar sistemasida hisoblash Ikki o’chovli integralning geometrik va mexanik tatbiqi

15 Kompleks hadli qatorlar. Teylor qatori. Loran qatori. Yakkalangan maxsus nuqtalar.
Kompleks hadli Teylor va Makloren qatorlari . Agar funksiya biror nuqtaning atrofida analiktik bo‘lsa ga nisbatan musbat darajali quyidagi qatorga yoyish mumkin:

Bundan larni topib, uning nuqtadagi qiymatilarini topsak, ular quyidagicha bo‘ladi:


Teylor qatori hosil bo‘ladi. Agar bo‘lsa tenglikdan Makloren qatorini hosil qilamiz: . larni Koshining ushbu integral forumlalaridan topish mumkin:
Teylor qatori doirada, Maklaren qatori esa doirada yaqinlashuvchi bo‘ladi. Loran qatori tushunchasi. Aytaylik, funksiya ushbu s ohada golomorf bo’lsin, bunda r 0, R . K sohada ixtiyoriy z nuqta olib, uni tayinlangan dеb qaraymiz. So’ng shunday
sohani (halqani) olamizki, bunda bo’lib, z K₁ bo’lsin. Ravshanki, bu xolda bo’ladi.

Ushbu

Aylanalarni mos ravishda orqalibеlgilaymiz:
Unda K₁ sohaning chеgarasi
bo’ladi. Bu еrda va aylanalarda yo’nalish soat strеlkasi yo’nalishiga qarshi qilib olingan.


16. Laplas almashtirish, uning xossalari. Orginallar sinfi. Operasion hisobning asosiy teoremalari.
(t), (t0) funksiya berilgan bo’lsin (ba'zan (t) funksiyani cheksiz intervalda aniqlangan ham deyiladi, lekin t<0 да (t)=0 bo’ladi). (t) funktsiya bo’lakli silliq bo’lsin, ya'ni har qanday chekli oraliqda, chekli sondagi 1-tur uzulishga ega bo’lsin. 0 t<+ intervalda ba'zi bir funksiyalarni mavjud bo’lishiligi uchun (t) funksiyaga qo’shimcha shart qo’yamiz. Shunday o’zgarmas M va S₀ sonlar mavjud bo’lsinki f(t) funksiyani, haqiqiy o’zgaruvchining kompleks funksiyasi e-pt ga ko’paytmasini qaraylik. р=а+ib (a>0) e^-ptf(t) - bu funksiya ham haqiqiy o’zgaruvchining kompleks funksiyasi, ya'ni

quyidagi xosmas integralni qaraylik.

Agar (t) funktsiya (I) shartni qanoatlantirib а>S₀ bo’lsa, (3) da o’ng tomondagi integrallar absolyut yaqinlashadi.

Ikkinchi integral ham shunga o’xshash baholanadi va bulardan integralni mavjudligi kelib chiqadi. Bu integrallarga bog’liq F(p) funksiyani ifodalaydi. F(p)-funksiyani Laplas tasviri, yoki L-tasviri yoki oddiygina tasviri deyiladi. Agar F(p), (t) ni tasviri bo’lsa, yoki yoki deb yozish mumkin.
Yuqorida keltirilgan tasvir yordamida masalalar soni yechiladi, masalan differensial tenglamalarni yechish oddiy algebraik tenglamalarni yechishga, so’ngra "tasvir"lar jadvalidan foydalanib yechimni topishga imkon beradi. Teorema. Origalni t bo’yicha differensillash, tasvirni biror o’zgarmasgacha p ga ko’paytirishga ketiriladi, ya'ni

tenglilar o’rinli bo’ladi. Teorema. AgarF(p)  (t) bo’lsa, u holda bo’ladi, ya'ni tasvirni p bo’yicha n marta differentsiallash, originalni (-t)ⁿ ga ko'paytirishga teng ekan.