Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi fazoda va to‘plamlar berilgan bo‘lsin. 1-ta’rif

Ikkidan ortiq o‘zgaruvchining funksiyasi
fazoda va to‘plamlar berilgan bo‘lsin.
2-ta’rif. Agar to‘plamning har bir haqiqiy sonlar uchligiga biror qonun yoki qoida bilan to‘plamdagi yagona haqiqiy soni mos qo‘yilgan bo‘lsa, to‘plamda uch o‘zgaruvchining funksiyasi aniqlangan deyiladi.
Uch o‘zgaruvchining funksiyasi ikki o‘zgaruvchining funksiyasi kabi belgilanadi:

Uch o‘zgaruvchining funksiyasini nuqtaning funksiyasi deb qarash
va yozuvni kabi yozish mumkin. Bu holda uch o‘zgaruvchi funksiyasining aniqlanish sohasi fazodagi nuqtalarining biror to‘plamidan yoki butun fazodan iborat bo‘ladi.
Misol. funksiyalarning aniqlanish sohasini topamiz. Bu funksiya yoki shartda haqiqiy qiymatlar qabul qiladi. Demak, funksiyaning aniqlanish sohasi koordinatalar fazosining tekislikda va bu tekislikdan yuqorida yotgan nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi.
Uch o‘zgaruvchining funksiyasi jadval va analitik usullarda berilishi mumkin. Bunda ikkidan ortiq kirish parametriga ega jadval foydalanishga noqulay bo‘lgani uchun ikkidan ortiq o‘zgaruvchinig funksiyasi asosan analitik usulda beriladi.
To‘rt o‘zgaruvchining, besh o‘zgaruvchining va umuman o‘zgaruvchining funksiyasi yuqoridagi kabi ta’riflanadi va belgilanadi. o‘zgaruvchining funksiyasi ko‘pincha fazodagi nuqtaning funksiyasi sifatida qaraladi va deb yoziladi. o‘zgaruvchi funksiyasining aniqlanish sohasi haqiqiy sonlar sistemasining to‘plamidan iborat bo‘ladi. Bunda to‘rtta va undan ortiq o‘zgaruvchiga bog‘liq funksiyalarning aniqlanish sohasini ko‘rgazmali (chizmalarda) namoyish qilib

bo‘lmaydi.
Funksiyaning limiti
Ikki (va ikkidan ortq) o‘zgaruvchi funksiyasining limiti va uzluksiligi bir
o‘zgaruvchi funksiyasidagi kabi ta’riflanadi. Bu ta’riflar nuqtaning atrofiga
tushunchasiga asoslanadi. nuqtaning atrofi deb (yoki ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha tekislik nuqtalari to‘plamiga aytiladi. Bu to‘plam markazi nuqtada bo‘lgan va radiusi ga teng ochiq (chegarasiz) doirada yotuvchi barcha nuqtalardan tashkil topadi (4-rasm).
3-ta’rif. Agar son uchun nuqtaning shunday atrofi topilsaki, bu atrofning istalgan nuqtasi ( nuqta bundan istisno bo‘lishi mumkin) uchun

tengsizlik bajarilsa, songa funksiyaning nuqtadagi yoki dagi limiti deyiladi va , yoki kabi belgilanadi.
Quyida bu teoremalarni keltiramiz.
1-teorema. Ikkita funksiya algebraik yig‘indisining limiti bu funksiyalar
limitlarining algebraik yig‘indisiga teng ,ya’ni
.