Ikki uch o'lchovli integrallarni geometriya va mexanika masalalarini echishga tadbiqlar ikki karrali integralning ta`rifi va uning asosiy xossalari

Ikki karrali integrallarda o`zgaruvchilarni almashtirish. Silindrik va sferik koordinatalar sistemasi
soha berilgan bo`lib, funksiya da integrallanuvchi bo`lsin.
(8)
deb belgilaymiz. Bizdan (8) ni hisoblash talab qilinsin. Ravshanki, funksiya hamda soha murakkab bo`lsa, (8) integralni hisoblash qiyin bo`ladi.
Ko‘p hollarda va o‘zgaruvchilarni boshqa o‘zgaruvchilarga almashtirish natijasida funksiya ham, soha ham soddalashib, ikki karrali integralni hisoblash osonlashadi.
Aytaylik, 2 ta va tekisliklar berilgan bo‘lsin. tekisligida chegaralangan, chegarasi sodda, bo`lakli silliq chiziqdan iborat bo`lgan sohani qaraylik. Ikkinchi tekisligida ham xuddi shunga o`xshash sohani olamiz.
va funksiyalar da berilgan shunday funksiyalar bo‘lsinki, ular sohadagi nuqtani sohadagi nuqtaga akslantirsin, ya’ni
(9)
funksiyalar sohani sohaga akslantiradi.
Faraz qilaylik, bu akslantirish quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1) (9) akslantirish o‘zaro bir qiymatli,
2) , bo‘lib, bu funksiyalarga teskari bo`lgan funksiyalar , va ularning barcha birinchi tartibli xususiy hosilalari shunday bo‘lib, ular ham mos sohalarda uzluksiz bo‘lsin,
3) (9) sistemadagi funksiyalarning xususiy hosilalaridan tuzilgan determinant (yakobian) uchun
(10)
shart bajarilsin.
Teorema. Faraz qilaylik, (9)-sistema yordamida aniqlangan funksiyalar sohani sohaga akslantirsin va yuqoridagi 1)-3) shartlarni qanoatlantirsin. U holda
(11)
bo‘ladi.
(11)-formulaga ikki karrali integrallarda o‘zgaruvchilarni almashtirish formulasi deyiladi.
Uch karrali integrallarda o‘zgaruvchilarni almashtirish formulalari ham shu kabi bo‘ladi.
Masalan,

funksiyalar sohani sohaga akslantirib, yuqoridagi 1)-3) shartlarni qanoatlantirsin. Agar sohada integrallanuvchi funksiya berilgan bo‘lsa, u holda

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda

berilgan akslantirishning yakobiani.
Ikki karrali integrallarni hisoblashda qutb koordinatalar sistemasiga o‘tish uch karrali integrallarni hisoblashda esa silindrik yoki sferik koordinatalar sistemasiga o‘tish ko‘p hollarda yaxshi natija beradi.
Silindrik koordinatalar sistemasida nuqta kabi beriladi (1-chizma).

1
-chizma.

Silindrik koordinatalar sistemasini Dekart koordinatalar sistemasi bilan bog‘lovchi formulalar (12) va (13) tengliklarda keltirilgan:
(12)
(13)
(12) sistema uchun yakobian

2
-chizma.
Sferik koordinatalar sistemasida nuqta kabi beriladi (2-chizma). Sferik koordinatalar sistemasini Dekart koordinatalar sistemasi bilan bog`lovchi formulalar (14) tenglikda keltirilgan.
(14)
(14) sistema uchun yakobian