Ikki uch o'lchovli integrallarni geometriya va mexanika masalalarini echishga tadbiqlar ikki karrali integralning ta`rifi va uning asosiy xossalari

IKKI UCH O'LCHOVLI INTEGRALLARNI GEOMETRIYA VA MEXANIKA MASALALARINI ECHISHGA TADBIQLAR
Ikki karrali integralning ta`rifi va uning asosiy xossalari. Rimanning karrali integrallar nazariyasi fazodagi Jordan o‘lchoviga asoslangan. Jordan bo‘yicha o‘lchovli to‘plamlarning asosiy xossalaridan biri, uning chegaralangan bo‘lishidir. To‘plam chegarasining Jordan o‘lchovi 0 ga teng bo‘lishi zarur va etarlidir. fazoda Jordan bo‘yicha o‘lchovga ega bo‘lgan to‘plamga kvadratlanuvchi (kublanuvchi) soha deyiladi. bo‘lganda karrali integrallar nazariyasi ikki karrali integrallar nazariyasidan prinsipial jihatdan farq qilmaganligi va ikki karrali integrallarni tasavvur qilish osonroq bo‘lganligi sababli biz asosan ikki karrali integrallar nazariyasini keltirish bilan kifoyalanamiz. Butun paragraf davomida biz qaralayotgan sohani kvadratlanuvchi deb faraz qilamiz.
Aytaylik sohada funksiya aniqlangan bo‘lsin. sohani egri chiziqlar to‘ri yordamida n ta sohashalarga bo‘lamiz. sohada nuqta olib, ni hisoblaymiz hamda quyidagi
(1)
funksiyaning soha uchun integral yig‘indisini tuzamiz. Bu yerda sohaning yuzasi.
Ta’rif. Agar (1) integral yig‘indining 0 ga intilgandagi limiti mavjud bo‘lib, u chekli songa teng bo‘lsa hamda uning qiymati sohaning bo‘linish usuliga va nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda o‘sha son funksiyaning soha bo‘yicha ikki karrali integrali (Riman ma’nosidagi integrali) deyiladi va u
yoki
kabi belgilanadi. funksiya sohada integrallanuvchi deyiladi. Aks holda funkтsiya sohada integrallanuvchi emas deyiladi.
Shunday qilib,
(2)
Izoh. Karrali integrallar uchun integrallanuvchi funksiya chegaralangan bo‘lishi shart emas. Lekin biz tasdiqlarning sodda bo‘lishi uchun paragraf davomida integrallanuvchi funksiyalardan ularning chegaralangan bo‘lishini talab qilamiz.
Ikki karrali integralni ham bir o‘zgaruvchili funksiyaning aniq integralidagi kabi Darbu yig‘indilari yordamida ham aniqlash mumkin.
Aytaylik, va bo‘lib, funksiyaning sohadagi tebranishi bo‘lsin.
Teorema. funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lishi uchun
(3)
tenglikning bajarilishi zarur va etarlidir.
Ta’rif. Agar uchun to‘plamni yuzalarining yig‘indisi dan kichik bo‘lgan sanoqli sondagi to‘g‘ri to‘rtburchaklar bilan qoplash mumkin bo‘lsa, u holda to‘plamning Lebeg o‘lchovi 0 ga teng deyiladi. Agar to‘plamni yuzalarining yig‘indisi etarlicha kichik bo‘lgan chekli sondagi to‘g‘ri to‘rtburchaklar bilan qoplash mumkin bo‘lsa, unda to‘plamning Jordan o‘lchovi 0 ga teng deyiladi.
Ta’rifdan ko‘rinadiki, Jordan o‘lchovi 0 ga teng to‘plamning Lebeg o‘lchovi ham 0 ga teng bo‘ladi. Teskarisi o‘rinli emas lekin Lebeg o‘lchovi 0 ga teng kompakt to‘plamning Jordan o‘lchovi ham 0 ga teng bo‘ladi. Jordan o‘lchovi 0 ga teng bo‘lgan to‘plamlarning chekli sondagi yig‘indisining Jordan o‘lchovi, Lebeg o‘lchovi 0 ga teng bo‘lgan to‘plamlarning sanoqli sondagi yig`indisining Lebeg o‘lchovi 0 ga teng bo`ladi.