Ikki uch o'lchovli integrallarni geometriya va mexanika masalalarini echishga tadbiqlar ikki karrali integralning ta`rifi va uning asosiy xossalari

Teorema. (Lebeg teoremasi). Agar funksiya o‘lchovga ega bo‘lgan yopiq sohada chegaralangan va bu sohadagi Lebeg o‘lchovi 0 ga teng bo‘lgan sohada uzilishga ega bo‘lib, qolgan barcha nuqtalarda uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiya sohada integrallanuvchi bo‘ladi.
Natija. Agar funksiya o`lchovga ega bo‘lgan chegaralangan yopiq sohada uzluksiz bo‘lsa, u holda funksiya sohada integrallanuvchi bo‘ladi.
Ikki karrali integrallar ham oddiy bir o‘zgaruvchili funksiyaning aniq integrali uchun o‘rinli bo‘lgan qator xossalarga ega. Biz ularning barchasini takrorlamay o‘rta qiymat haqidagi teoremalarga to‘xtalamiz, xolos.
funksiya sohada aniqlangan bo‘lib, shu sohada chegaralangan bo‘lsin, ya’ni va M sonlar: uchun

bo‘ladi.
Teorema. funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda o‘zgarmas son mavjudki,

bo‘ladi. Bu yerda - sohaning yuzasi.
Natija. Agar bo‘lib, -yopiq bo‘lsa, unda nuqta topiladiki

bo‘ladi.
Teorema. Agar funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lib, u shu sohada o‘z ishorasini o‘zgartirmasa va bo‘lsa, u holda nuqta topiladiki,

bo‘ladi.
Ikki karrali integrallarni hisoblash. Ikki karrali integrallar amaliyotda takroriy integralga keltirish yordamida hisoblanadi. Biz soha to‘g‘ri to‘rtburchakli va egri chiziqli trapetsiya bo‘lgan 2 ta holda ikki karrali integralni takroriy integralga keltirish haqidagi teoremalarni keltiramiz.
Teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin. Agar har bir fiksirlangan da

integral mavjud bo‘lsa, u holda ushbu

takroriy integral mavjud bo‘lib,
(4)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Teorema. funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lib, ixtiyoriy fiksirlangan da

mavjud bo‘lsa, u holda

integral ham mavjud bo‘ladi va
(5)
tenglik bajariladi.
Endi soha

egri chiziqli trapesiya ko`rinishida berilgan bo‘lib, va bo‘lsin.
Teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin. Agar fiksirlangan uchun

integral mavjud bo‘lsa, u holda

mavjud bo‘ladi va
(6)
tenglik bajariladi.
Agar soha

ko`rinishda bo`lib, va bo`lsa, unda quyidagi teorema o`rinli bo`ladi.
Teorema. funksiya sohada integrallanuvchi bo`lib, fiksirlangan uchun

mavjud bo`lsa, unda

mavjud va
(7)
bo`ladi.