ikki va uch olchalik fososda vektorlar. Vektor haqida tushuncha. Ta'riflar va asosiy xususiyatlar

1.2 Vektorlar ustida amallar

Vektorlarni qo'shish va vektorni songa ko'paytirish vektorlar ustida chiziqli amallar deyiladi.

Ta'rif: Ikki vektor yig'indisi vektorning boshida va oxiri vektor oxirida bo'lgan vektorning oxiriga biriktirilgan vektor bo'lgan vektordir .

Guruch. 2
Ta'rifga muvofiq, atamalar va ularning yig'indisi uchburchakni tashkil qiladi (2-rasm). Shuning uchun ikkita vektorni qo'shish uchun ushbu qoida "uchburchak qoidasi" deb ataladi.
Vektor qo'shish operatsiyasi quyidagi xususiyatlarga ega:


(kommutativlik);
(assotsiativlik);
har qanday vektor uchun (nol vektorning maxsus roli);

Har bir vektor uchun qarama-qarshi vektor mavjud, shuning uchun (uni olish uchun vektorning boshi va oxirini almashtirish kifoya ).

Vektorga qarama-qarshi vektor belgilanadi
Ta'rif: vektorlarning farqi va vektor va vektorga qarama-qarshi vektor yig'indisi , ya'ni .



Guruch. 3

Eslatma: "Parallelogramma qoidasi" deb ataladigan vektorlarni qo'shishning yana bir qoidasi mavjud: vektorlar va ular umumiy kelib chiqishidan yo'naltiriladi va ularga parallelogramma quriladi (4-rasm). Yig'indi parallelogramma diagonalida joylashgan vektor bo'ladi . Bu erda farq ikkinchi diagonalda joylashgan vektor bo'ladi .

Guruch. 4

Vektor algebrasida haqiqiy sonlar odatda skalerlar yoki skalarlar deb ataladi.

Ta'rif: vektorning haqiqiy songa (skalar) ko'paytmasi vektor shundayki , 1) ; 2) vektor vektorga kollinear ;3) vektorlar va ( ) nuqtada bir xil (qarama-qarshi) yo'nalishga ega .
Eslatma: qachon yoki mahsulot nol vektor bo'lsa.
Vektorni raqamga ko'paytirish amali quyidagi xususiyatlarga ega:


(omillarning assotsiativ xossasi);

Haqiqatan ham, tenglikning ikkala tomonida joylashgan vektorlar bir xil uzunlikka ega ekanligini ta'kidlaymiz . Bundan tashqari, ular kollinear va teng yo'naltirilgan bo'ladi, chunki ularning yo'nalishi l va m bir xil belgiga ega bo'lgan yo'nalish bilan bir xil , l va m belgilari har xil bo'lsa , yo'nalishga qarama-qarshidir . Agar l yoki m nolga teng bo'lsa, tenglikning ikkala tomoni ham nolga teng. Mulk isbotlangan.

va bo'lgan OAB uchburchagini quramiz . Keyinchalik, SPQ uchburchagini quramiz, bu erda va . SPQ uchburchakning SP, PQ tomonlari OAB uchburchakning OA, AB tomonlariga parallel va proporsional boʻlgani uchun bu uchburchaklar oʻxshashdir. Demak, SQ tomoni ham OB tomoniga parallel va ularning uzunliklarining nisbati ham | ga teng l|. Bundan ko'rinib turibdiki, agar l > 0 bo'lsa va teng yo'naltiriladi . Demak, . Lekin va , va shuning uchun birinchi taqsimlovchi xossa keladi.
Shubhasiz, ikkinchi taqsimot xususiyatining ikkala qismidagi vektorlar kollineardir. Avval l va m ning belgilari bir xil deb faraz qilaylik . Keyin vektorlari bir xil yo'nalishga ega va ularning yig'indisining uzunligi ularning uzunliklarining yig'indisiga teng, ya'ni. . Lekin , shuning uchun ham, bu holda vektorlar uzunligi tengdir. Ularning yo‘nalishi l va m ning umumiy belgisi musbat bo‘lsa , vektor yo‘nalishiga to‘g‘ri keladi , manfiy bo‘lsa, unga qarama-qarshi bo‘ladi. Endi l va m ning belgilari har xil deb faraz qilaylik va aniqlik uchun | l| > |µ|. Bunday holda, yig'indining uzunligi uzunliklar farqiga teng, aniqrog'i . Lekin . Shuning uchun, bu holda, vektor uzunligi teng vektor uzunligi . Shubhasiz, bu vektorlarning ikkalasi ham xuddi shunday yo'naltirilgan . Agar | l| = |m| va l va m ning belgilari qarama-qarshi bo'lsa, tenglikning ikkala tomoni nolga teng. Agar vektor yoki ikkala skalar bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lsa, xuddi shunday holat sodir bo'ladi.
Teorema: Agar vektor nolga teng bo'lmagan vektorga kollinear bo'lsa, unda shunday haqiqiy son mavjud bo'ladi.