Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi. Skalyar ko’paytma

Skalyar ko`paytmaning algebraik xossalari.

1-xossa. Ko‘paytuvchilarning o‘rinlari almashtirilsa vektor ko‘paytma ishorasini qarama-qarshisiga o‘zgartiradi, ya’ni



Isboti. Vektor ko‘paytmaning ta’rifiga ko‘ra va vektorlar bir xil uzunlikka ega (parallelogrammning yuzi o‘zgarmaydi), kollinear, ammo qarama-qarshi yo‘nalgan, chunki vektorlar o‘ng uchlik, vektorlar chap uchlik tashkil qiladi.

Demak,

2-xossa. Skalyar ko‘paytuvchiga nisbatan guruhlash xossasi:

.

Isboti. bo‘lsin. U holda va vektorlar va vektorlarga perpendikulyar bo‘ladi, chunki va vektorlar bir tekislikda yotadi. Shu sababli va vektorlar kollinear. Shuningdek, bu vektorlar bir tomohga yo‘nalgan ( va vektorlar bir tomonga yo‘nalgan) hamda ular bir xil uzunlikka ega:

Demak,

.

Xossa da shu kabi isbotlanadi.

3-xossa. Qo‘shishga nisbatan taqsimot xossasi:

.

Isboti. Bu xossaning isbotini keltirmaymiz.

4-xossa. Agar va vеktorlar kollinear bo‘lsa, u holda ularning vektor ko‘paytmasi nolga teng bo‘ladi. Shunindek, teskari tasdiq o‘rinli: agar bo‘lsa, u holda va vеktorlar kollinear bo‘ladi.

Isboti. va vеktorlar kollinear bo‘lsa ular orasidagi burchak yoki ga teng va bunda bo‘ladi. U holda Bundan .

bo‘lsa bo‘ladi. U holda Bundan

yoki , ya’ni va vеktorlar kollinear.

Misollar

1. vеktorlarning vektor ko‘paytmalarini topamiz. Bunda vektor ko‘paytmaning ta’rifigadan quyidagi tengliklar bevosita kelib chiqadi:

Haqiqatan ham masalan, uchun: 1)

2) ; 3) vеktorlar o‘ng uchlik tashkil qiladi.

Shu kabi .

U holda 1- xossaga ko‘ra

Vektor ko‘paytmaning 4- xossasidan topamiz:

.

2. , , bo‘lsin. ni hisoblaymiz. Buning uchun vektor ko‘paytmaning ta’rifi va xossalaridan foydalanamiz:

.

Bundan .