Ikkinchi tartibli chiziqlar: aylana, ellips, gipеrbоla

Ikkinchi tartibli chiziqlar: aylana, ellips, gipеrbоla,
parabоla va ularning tеnglamalari.


Bizga ma’lumki, tekislikda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinata sis­temasida har qanday birinchi tartibli ikki o‘zgaruvchili tenglama ya’ni ko‘rinishdagi tenglama ( va koeffitsiyentlar bir vaqtda nolga teng emas) to‘g‘ri chiziq tenglamasi edi. Endi ikkinchi tartibli ikki o‘zgaruvchili tenglamani qaraymiz. Bunday tenglama bilan ifodalanuvchi chiziqlar ikkinchi tartibli egri chiziqlar deyiladi. Ikkinchi tartibli egri chiziqlarni turlari bilan tanishamiz.


A y l a n a
koordinata sistemasi berilgan bo‘lsin. Bu sistemaga nisbatan markazli va radiusli aylana tenglamasini tuzamiz.
Aylananing har bir nuqtasi berilgan nuqtadan barobar teng uzoqda yotgan tekislik nuqtalarining geometrik o‘rni bo‘lishi ta’rifidan foydalanamiz. (53-chizma)
53-chizma
–aylananing ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin. Ta’rifga ko‘ra
yoki (1)
(1) tenglama markazi nuqtada va radiusi ga teng aylananing kanonik tenglamasi. Agar aylana markazi koordinatalar sistemasi boshi bilan ustma–ust tushsa, tenglama quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi.
(2)
Egri chiziq parametrik ko‘rinishdagi tenglamaga ham ega. Aytaylik nuqta egri chiziq bo‘ylab harakatlansin va biror vaqtda koordinatalarga ega bo‘lsin.
U holda
(3)
tenglamalar sistemasi egri chiziqning parametrik tenglamalari deyiladi, bunda t parametr hisoblanadi. Masalan
(4)
t
54- chizma
englamalar aylananing parametrik tenglamalaridir. Agar egri chiziqning parametrik tenglamalari ma’lum bo‘lsa, undan foydalanib, egri chiziqning oshkormas ko‘rinishdagi tenglamasini keltirib chiqarish mumkin. Oshkormas tenglama ba’zi hollarda chiziq tenglamasini ifodalamasligi ham mumkin. Boshqacha aytganda chiziqqa tegishli bo‘lmagan nuqtaning koordinatalari oshkormas tenglamani qanoatlantirishi mumkin. Agar (4) sistemadan t para­metrni chiqarsak, tenglamaga ega bo‘lamiz.
Misol: nuqtada, radiusi birlik bo‘lgan aylana yasang.
Yechish: Shartga ko‘ra aylana markazining koordinatalari
va radiusi uzunligi bo‘lganligidan formulaga ko‘ra aylana tenglamasi bo‘ladi. (54-chizma)