Ikkinchi tartibli chiziqlar: aylana, ellips, gipеrbоla

E l l i p s.
1-Ta’rif: Ixtiyoriy nuqtasidan fokuslari deb ataluvchi berilgan ikki va nuqtagacha bo‘lgan masofalar yig‘indisi o‘zgarmas miqdor ga teng bo‘lgan tekislikdagi barcha nuqtalar to‘plamiga e l l i p s deb ataladi.
O‘zgarmas miqdor fokuslar orasidagi masofadan katta deb olinadi. Ellips tenglamasini tuzish uchun koordinatalar sistemasini tubandagicha kiritamiz. Berilgan ikki nuqtani birlashtiruvchi to‘g‘ri chiziqni abssissalar o‘qi deb qabul qilamiz, koordinatlar boshini esa berilgan nuqtalar o‘rtasida olamiz.
Berilgan va fokuslar orasidagi masofani bilan belgilaymiz. U holda , nuqtalarning koordinatlari mos ravishda va ga teng bo‘ladi.
Ta’rifga ko‘ra yoki . Ellips ixtiyoriy nuqtasini bilan belgilaymiz.
Ellipsdagi ixtiyoriy nuqtaning va fokuslaridan masofalarini uni fokal radiuslari deyiladi va bilan belgilanadi, ya’ni va ellipsning ta’rifiga ko‘ra
(*)
Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga ko‘ra
(**)
(**), (*)
Bu tenglamani 1-chi hadini o‘ng tomonga o‘tkazib, hosil bo‘lgan tenglamaning ikkala tomonini kvadratga ko‘tarsak


bundan
Bu ifodani ixchamlashtirgandan keyin quyidagi tenglamaga ega bo‘lamiz.


Tenglamaning ikkala qismini ga bo‘lib, quyidagini hosil qilamiz. bo‘lgani uchun musbat miqdordir, uni bilan belgilasak teng­lama
(5)
ko‘rinishni oladi. (5) tenglamaga ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi. Ellipsning (5) kanonik tenglamasiga ko‘ra shaklini o‘rganamiz.
1) (5) tenglama bilan aniqlangan ellips koordinatlar sistemasi o‘qlariga nisba­tan simmetrikdir. Haqiqatan shu ellipsning biror nuqtasi bo‘lsa, ya’ni sonlar (5) tenglamani qanoatlantirsa, u vaqtda (5) tengla­mada o‘zgaruvchi ning faqat kvadratlari qatnashgani uchun bu tenglama­ni va nuqtalarning koordinatalari ham qanoatlan­tiradi. (56 a-chizma).


56-chizma
Shuning uchun koordinata o‘qlari ellipsning simmetriya o‘qlaridir. Simmetriya o‘qlarining kesishgan nuqtasi ellipsning markazi deyiladi, fokuslar yotgan o‘qi uning fokal o‘qi deyiladi.
2) Ellipsning koordinata o‘qlari bilan kesishgan nuqtalarini topamiz. Masalan o‘q bilan kesishgan nuqtalarni topish uchun ushbu tenglamalar­ni birgalikda yechamiz.
(6)
(6) sistemaning ikkinchi tenglamasidan ni birinchi tenglamasiga qo‘ysak, hosil bo‘ladi. Shunday qilib ellips o‘qini va nuqtalarda kesadi. Shu singari ellipsning o‘q bilan kesishgan va nuqtalari topiladi. Demak ellipsning barcha nuqtalari tomonlari bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak ichiga joylashgan. (56 b-chizma).
Shu bilan birga ellips chiziqidan tashqarida joylashgan nuqtalarni ellips tenglamasini qanoatlantirmasligini ham ko‘rsatish mumkin. Faraz qilaylik ellips chiziqiga tegishli bo‘lmagan nuqta ellips chiziqiga tegishli bo‘lsin. U holda bu nuqta ellips tenglamasini qanoatlantirishi kerak, ya’ni



tenglik bajarilishi kerak. Ammo biz ga ega bo‘lamiz. Demak farazimiz noto‘g‘ri. nuqta ellipsga tegishli emas.