Ikkinchi tartibli chiziqlar: aylana, ellips, gipеrbоla

1-Misol. Giperbolaning haqiqiy o‘qi 18 ga fokuslari orasidagi masofa 24 ga teng bo‘lsa, uning kanonik tenglamasini tuzing va ekssentrisitetini toping.
Yechish. Shartga ko‘ra 2a=18=>a=9 va 2c=24=>c=12 Endi b² ni topish qoldi b²=c²-a² = 63. Demak,
2 - Misol. giperbolaning asimptota tenglamalari tuzilsin.
Yechish: Berilgan tenglamada a²=5, b²=20, bundan a=, b=2. Asimptota tenglamalari y=; y= - ko‘rinishda edi. Demak,
y = yoki y=2x.
y =- yoki y=-2x.


7.4. P a r a b o l a
4-Ta’rif. Ixtiyoriy nuqtasidan berilgan nuqtagacha va berilgan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofalari o‘zaro teng bo‘lgan tekislikning barcha nuqtalari to‘plami parabola deyiladi. Berilgan nuqta parabolaning fokusi, berilgan to‘g‘ri chiziq esa parabolaning direktrisasi deyiladi.
P arabolaning fokusini F, direktrisasini d bilan, fokusdan direktrisagacha bo‘lgan masofani p bilan belgilaymiz.
58-chizma
Parabola tenglamasini ta’rifidan foydalanib uning kanonik tenglamasini keltirib chiqaramiz. Buning uchun koordinatalar sistemasini tubandagicha kiritamiz. F nuq­tadan o‘tuvchi va d to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘lgan to‘g‘ri chiziqni abssissalar o‘qi deb qabul qilamiz.
Abssissalar o‘qini d to‘g‘ri chiziq bilan kesishgan nuqtasi L bo‘lsin. Ordinatalar o‘qini [FL] kesmaning o‘rtasidan o‘tkazamiz (58-chizma).
Tanlangan koordinata sistemasiga nisbatan direktrisa tenglamaga, F focus esa koordinatalarga ega bo‘ladi.
Parabolaning ixtiyoriy nuqtasi M(x;y) bo‘lsin. M nuqtadan direktri­saga tushirilgan perpendikulyarning asosini K bilan belgilaylik. U holda parabola­ning ta’rifiga ko‘ra,
(*)
Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasidan foydalansak,

(**)

(*), (**) qavslarni ochib ixchamlaymiz.
yoki y²=2px (12)

59-chizma
(12) tenglama parabolaning kanonik tenglamasi deyiladi. Parabola shaklini uning (12) tenglamasiga ko‘ra tekshiramiz. y²0 va p>0 bo‘lgani uchun (12) tenglamada bo‘lishi kerak. Bundan esa (12) tenglama bilan ifodalanuvchi parabolaning barcha nuqtalari o‘ng yarim tekislikda joy­lashganligi kelib chiqadi. .x=0 da (12) => y=0 bo‘lib, parabola koordinatlar boshidan o‘tadi. Koordinatalar boshi parabolaning uchi deyiladi. x ning har bir x>0 qiymatiga y ning ishoralari qarama - qarshi, ammo absolyut miqdorlari teng bo‘lgan ikki qiymati mos keladi. Bundan esa parabolaning (Ox) o‘qqa nisbatan simmetrik joylashganligi ko‘rinadi. (Ox) o‘qi simmetriya o‘qi. (12) tenglamadan ko‘rinadiki, x ortib borishi bilan ham ortib boradi. Demak, yuqoridagi xossalarga ko‘ra parabolaning shaklini ta­savvur qilish mumkin. (59-chizma). Agar parabola koordinatalar sistemasi­ga nisbatan (60a,b,v) chizmadagidek joylashgan bo‘lsa, ularning tenglama­lari mos ravishda x²=2py,y²=-2px, x²=-2py ko‘rinishda bo‘ladi. Misol: x+4=0 to‘g‘ri chiziq va F(-2;0) nuqtadan bir xil uzoqlikda joylashgan nuq­talar geometrik o‘rnining tenglamasini tuzing.

60-chizma

Yechish: K(x;y) nuqta biz izlayotgan geometrik o‘rinning ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin. Ikki nuqta ora­sidagi masofa formulasiga asosan _, masala shartiga ko‘ra x+4=0 to‘g‘ri chiziq K(x;y) nuqtadan masofada bo‘ladi.
Shuning uchun yoki
(x+2)²+y² = x²+8x+16=> y²-4x+12 = 0 yoki y²=4x+12;
Bu esa Ox o‘qiga nisbatan simmetrik bo‘lgan parabola tenglamasidir.