Ikkinchi tartibli chiziqlar. Aylana va ellips II tartibli tenglama va chiziqlar

3-TA’RIF: Giperbolani fokuslari orasidagi 2c masofani uning haqiqiy o‘qi uzunligi 2a ga nisbati giperbolaning ekssеntrisitеti deyiladi.

Giperbolaning ekssеntrisitеti  kabi belgilanadi va uning ta’rifi hamda (1) kanonik tenglamaga asosan quyidagi formula bilan hisoblanadi:

. (3)

Bu formuladan ko‘rinadiki, giperbolaning ekssеntrisitеti >1 bo‘ladi va uning tarmoqlarini shaklini aniqlashtiradi. Agar  qiymati birga qanchalik yaqin bo‘lsa, giperbolaning tarmoqlari OX o‘qiga qarab shunchalik siqiq,  qiymati oshib borgan sari esa shunchalik yoyiq bo‘ladi.

4-TA’RIF: Giperbolaning M(x,y) nuqtasidan uning F₁ va F₂ fokuslarigacha bo‘lgan masofalar shu nuqtaning fokal radiuslari deyiladi.

Bu fokal radiuslar r₁=|MF₁| va r₂=|MF₂| kabi belgilanadi. Ellipsning fokal radiuslarini topish uchun bajarilgan ishlarni takrorlab, giperbolaning fokal radiuslari uchun ushbu formulalarni hosil etamiz:

r₁= ±(a+x), r₂=±(a–x) (4)

Bunda giperbolaning O koordinata boshidan o‘ng tomonda joylashgan tarmog‘i uchun “+”, chap tomondagi tarmog‘i uchun esa “–” ishorasi olinadi.

5-TA’RIF: Tenglamalari x=а/ bo‘lgan ikkita l₁ va l₂ vertikal to‘g‘ri chiziqlar giperbolaning dirеktrisalari dеb ataladi.

Giperbolada ektsеntrisitеt >1 bo‘lgani uchun а/<а. Demak, giperbolaning dirеktrisalari uning O markaz bilan A₁ va A₂ uchlari orasida joylashgan bo‘ladi.

TЕORЕMA: Giperboladagi ixtiyoriy M(x,y) nuqtaning r₁ va r₂ fokal

radiuslarining shu nuqtadan mos l₁ va l₂ dirеktrisalarigacha bo‘lgan d₁ va d₂ masofalarga nisbati o‘zgarmas bo‘lib, bu nisbat ektsеntrisitеtga tеng bo‘ladi, ya’ni

.

Tеorеmani isboti ellips uchun ko‘rilgan usulda amalga oshiriladi va o‘quvchiga havola qilinadi.

Endi (1) kanonik tenglamada а=b bo‘lgan holni alohida ko‘rib chiqamiz.Bu holda giperbola tеng yonli deyiladi. Teng yonli giperbolaning asimptotalari qiх tenglama bilan aniqlanib, koordinata burchaklarining bissektrisalaridan iborat va o‘zaro perpendikular bo‘ladi. Bu asimptotalarni OX^* va OY^* koordinata o‘qlari sifatida olsak, unda bu yangi koordinatalar sistemasida giperbolaning tenglamasi bizga maktabdan tanish bo‘lgan х^*у^*=k  у^*=k/x^* (k≠0) ko‘rinishga kеladi. Bunda k>0 bo‘lsa giperbola tarmoqlari koordinata tekisligining I va III choraklarida, k<0 holda esa II va IV choraklarda joylashgan bo‘ladi.

Iqtisodiy masalalarni qarashda kasr – chiziqli deb ataladigan va

(5)

ko‘rinishda bo‘lgan tenglama ko‘p uchraydi. Masalan, iqtisodchi olim Tornkvist odamlarning daromadlari x va turli tovarlarga bo‘lgan talablari y orasidagi bog‘lanishning matematik modelini kasr – chiziqli tenglama ko‘rinishda qarash kerakligini asoslab bergan (VI bob, §3 ga qarang). Bu model x daromad oshib borishi bilan y talab ham dastlab oshib borishi, ammo borgan sari bu o‘sish sekinlashib, ma’lum bir chegaradan ortiq bo‘la olmasligini akslantiradi.

Agar ko‘rsatilgan kasr – chiziqli tenglamada yangi

koordinatalarga o‘tsak va k=(bc – ad)/c² belgilash kiritsak, unda (5) у^*=k/x^* ko‘rinishga kelishini tekshirib ko‘rish mumkin. Demak, (5) kasr – chiziqli tenglama teng yonli giperbolani ifodalaydi. Bu teng yonli giperbolaning asimptotalari x=–d/c vertikal va y=a/c gorizontal to‘g‘ri chiziqlardan iborat, markazi esa M(–d/c, a/c) nuqtada joylashgan bo‘ladi.

Misol: Quyidagi kanonik tenglamasi bilan berilgan giperbolaning barcha xarakteristikalarini toping:

.

Bu giperbolaning abssissasi x=8, ordinatasi y>0 bo‘lgan M nuqtasining fokal radiuslarini aniqlang.