Ikkinchi tartibli chiziqlar. Aylana va ellips II tartibli tenglama va chiziqlar

Giperbolaning xarakteristikalari.

Parabola, uning kanonik tenglamasi va xarakteristikalari.

Dekart koordinatalar sistemasini almashtirish.

II tartibli tenglamalarning umumiy holdagi tahlili.


4.1. Giperbola va uning kanonik tenglamasi.

Biz II tartibli chiziqlardan birini, ya’ni ellips va uning xususiy holi bo‘lmish aylanani ko‘rib chiqdik va ularning xossalarini o‘rgandik. Bu yerda biz II tartibli chiziqlar bilan tanishishni davom ettirib, ulardan yana ikkitasini qaraymiz.

1-TA’RIF: Tekislikdagi ikkita F₁ va F₂ nuqtalargacha masofalarining ayirmasining absolut qiymati o‘zgarmas 2a soniga tеng bo‘lgan tekislikdagi nuqtalarning gеomеtrik o‘rni giperbola deb ataladi. Bunda F₁ va F₂ nuqtalar fokuslar deyiladi.

Giperbola tenglamasini tuzish uchun fokuslar orasidagi masofani |F₁F₂|=2c deb olamiz Dekart koordinatalar sistemasini xuddi ellips holida ko‘rilgan singari olamiz (29-rasmga qarang). Unda fokuslar koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo‘lib, ular koordinatalari orqali F₁(–c,0) va F₂(c,0) ko‘rinishda ifodalanadi. Gipеrboladagi ixtiyoriy bir M(x,y) nuqtani olamiz.

29-rasm

Giperbola ta’rifga asosan |MF₂| – |MF₁|= ±2а bo‘ladi. Bu tenglikni koordinatalar orqali ifodalab va ellips tenglamasini keltirib chiqarish uchun qilingan soddalashtirishlarni takrorlab, quyidagi tenglamani hosil etamiz:

( a² – c²)x² + a²y²=a²(a² –c²).

Bu natija oldin ko‘rilgan ellips tenglamasiga o‘xshaydi, ammo bu yerda a²–c²<0 bo‘ladi. Haqiqatan ham chizmadagi F₁MF₂ uchburchakdan uchburchak tengsizligiga asosan

│|MF₂| –|MF₁|│< |F₁F₂|  2а<2c  а<c  a²–c²<0.

Shu sababli a² – c²=– b² dеb bеlgilash mumkin va oxirgi tеnglamani a²(a² –c²) songa bo‘lib,

(1)

tеnglamani hosil qilamiz.

2-TA’RIF: (1) tenglama giperbolaning kanonik tenglamasi deyiladi.

Giperbolaning kanonik tenglamasini tahlil etish orqali uning xususiyatlarini aniqlaymiz.

• 
  Giperbolaning (1) kanonik tenglamasida x va y koordinatalar juft darajada qatnashadi. Demak, M(х,у) giperbolada yotgan nuqta bo‘lsa, unda ushbu M₁(–х,у), M₂(–х, –у) va M₃(х, –у) nuqtalar ham giperbolaga tegishli bo‘ladi, ya’ni giperbola OX va OY koordinata o‘qlariga nisbatan simmetrikdir.
  
• 
  Giperbolaning OX va OY koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini topamiz.
  

у=0   х² = а²  х = а.

Bu yerdan gipеrbola OX o‘qini ikkita А₁(–а,0) vа А₂(а,0) nuqtalarda kesib o‘tishini ko‘ramiz. Bu nuqtalar giperbolaning uchlari , ular orasidagi |А₁А₂|=2a masofa giperbolaning haqiqiy o‘qi deyiladi.

Agar х=0 dеsak, u holda (1) tenglamadan у²= b²  у natijaga kelamiz. Bundan giperbola OY o‘qi bilan kesishmasligi kelib chiqadi. Shu sababli (1) kanonik tenglama orqali aniqlanadigan В₁(0,–b) va В₂(0, b) nuqtalar giperbolaning mavhum uchlari, ular orasidagi |B₁B₂|=2b masofa esa giperbolaning mavhum o‘qi dеb ataladi. Mos ravishda a va b sonlariga giperbolaning yarim haqiqiy va yarim mavhum o‘qlari deyiladi. Giperbolaning o‘qlari kesishadigan nuqta uning markazi dеb yuritiladi.

• 
  Giperbolaning (1) kanonik tenglamasidan yana quyidagi natijalarni olamiz:
  

Bu yerdan giperbola x=–a va x=a tenglamali vertikal to‘g‘ri chiziqlardan mos ravishda chap va o‘ng tomonda joylashgan ikkita bo‘lakdan iborat chegaralanmagan chiziq ekanligini ko‘ramiz. Bu bo‘laklar giperbolaning tarmoqlari deb ataladi.

• 
  Giperbola tenglamasini quyidagi ko‘rinishda qaraymiz:
  

Bu tenglamadan ikkita xulosa kelib chiqadi. Birinchidan, |x| o‘zining eng kichik qiymati a dan boshlab cheksiz oshib borsa, unda |y| qiymatlari 0 dan boshlab cheksiz oshib boradi. Ikkinchidan, |x| oshib borgan sari

.

Demak, |x| oshib borgan sari giperbolaning shoxlari tobora

(2)

tenglamaga ega bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlarga yaqinlashib boradi. Bu to‘g‘ri chiziqlar giperbolaning asimptotalari deb ataladi.

Izoh: Asimptota tushunchasining aniq ta’rifi keyinchalik VIII bobning, §5, IV qismida beriladi.

Bu ma’lumotlar asosida giperbola shaklini dastlab koordinatalar tekisligining I choragida (x≥0, y≥0), so‘ngra esa uning simmetrikligidan foydalanib, qolgan choraklarda aniqlaymiz. Natijada giperbolani va uning ikkita asimptotasini ifodalovchi quyidagi 30-rasmni hosil etamiz:

2. 
   Giperbolaning xarakteristikalari
   

Endi giperbolaning xususiyatlarini ifodalovchi ayrim xarakteristikalar bilan tanishamiz.