Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalar va ularni sinflash

Aim.uz

Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalar va ularni sinflash

Bu mavzuda biz xusuiy hosilali tenglama tushunchasi bilan tanishamiz va bunday tenglamaning tartibi, yechimi haqida to’xtalamiz hamda uning turli ko’rinishlarini ajratamiz.

1.1-Ta’rif. Xususiy hosilali differensial tenglama deb ko’p o’zgaruvchili funksiya, uning xususiy hosilalari va o’zgaruvchilar ishtirok etgan tenglamaga aytiladi.

Xususiy hosilali differensial tenglamaning tartibi deb unda ishtirok etgan noma’lum funksiya xusussiy hosilalarining eng katta tartibiga aytiladi.

funksiyaga nisbatan - tartibli xususiy hosilali differensial tenglama umumiy holda

(1.1)

ko’rinishda yoziladi. Bunda berilgan funksiya, natural sonlar bo’lib tenglikni qanoatlantiradi. Eslatib o’tish kerakki, agar xususiy hosilali differensial tenglamaning tartibi ga teng bo’lsa, u holda tenglamada noma’lum funksiyaning tartibgacha xususiy hosilalari ishtirok etishi mumkin bo’lib, ularning hammasi mavjud bo’lishi shart emas.

Agar noma’lum funksiya ikkita: va o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lsa, u holda (1) ga ko’ra ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama umumiy holda quyidagi ko’rinishda beriladi:

(1.2)

ko’rinishda yoziladi. Bunda biror berilgan funksiya.

1-Misol. Quyida berilgan tenglamalardan qaysilari xususiy hosilali differensial tenglamani ifodalaydi. Xususiy hosilali differensial tenglamalarning tartibini toping.

1) 3)

2) 4)

Yechish. Berilgan ushbu tenglamalarda ba’zi elementar almashtirishlardan keyin hosil bo’lgan tenglamalarni yozamiz. Buning uchun 1) – tenglamada elementar metematikadan ma’lum bo’lgan

ayniyatni hisobga olsak, bu tenglama quyidagi ko’rinishni oladi:

.

Hosil bo’lgan bu tenglamada esa noma’lum funksiya va uning birorta ham xususiy hosilalari ishtirok etmadi. Bu esa 3- ta’rifga binoan 1) tenglamaning xususiy hosilali differensial tenglama emasligini bildiradi.

Xuddi shu kabi 2) – tenglamada ham trigonometriyadan ixtiyoriy uchun o’rinli bo’lgan

Ayniyatni e’tiborga olsak, ushbu tenglama quyidagi ko’rinishga keladi:

.

Bu tenglama va o’z navbatida 2) – tenglama ham 3-ta’rifga asosan xususiy hosilali differensial tenglama bo’lmas ekan.

3) va 4) – tenglamalarni boshqa elementar almashtirishlar natijasida yanada soddalashmaydi, ya’ni unda ishtirok etayotgan xususiy hosilalarni yo’qotib bo’lmaydi. Shuning uchun ham 3-ta’rifga binoan 3) va 4) tenglamalar xususiy hosilali differensial tenglamalar bo’ladi. 3) tenglamada noma’lum funksiya bilan birga xususiy hosilalar ham ishtirok etmoqda. Ko’rinib turibdiki, unda ishtirok etgan xususiy hosilalardan eng katta tartiblisi 3 bo’lib, u dan iborat. Demak 3) xususiy hosilali differensial tenglamalarning tartibi 3 ga teng ekan.

Xuddi shu kabi, 4) tenglamada ham noma’lum funksiya bilan birga xususiy hosilalar qatnashmoqda. Ulardan eng katta tartibli xususiy hosila bo’lib, uning tartibi 2 ga teng. 

1.2-Ta’rif. Agar ikkinchi tartibli xususiy hosilali diffrernsial tenglama



(1.3)

ko’rinishda bo’lsa unga ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama deb ataladi.

Agar (1.3) da bo’lsa unga bir jinsli, aks holda bir jinsli bo’lmagan xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama deyiladi.

Masalan

differensial tenglamalar ikki o’zgaruvchili funksiyaga nisbatan mos ravishda birinchi tartibli bir jinsli bo’lmagan va ikkinchi, uchinchi tartibli bir jinsli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalar bo’ladi, chunki ularda noma’lum funksiya va uninh xususiy hosilalari oldidagi koeffisientlar faqat o’zgaruvchilargagina bog’liq. Xususan, birinchi tenglama uchun tengliklar o’rinli.