Ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalar va ularni sinflash

3-Misol. Berilgan

ikkinchi tartibli bir jinsli oddiy differensial tenglama yechimini ko’rinishida izlaymiz. U holda

bo’lib, uni berilgan tenglamaga qo’yib va tenglamaning ikkala tomonini musbat ifodaga bo’lamiz. Natijada biz xarakteristik tenglama deb ataluvchi

kvadrat tenglamaga kelamiz. Uning yechimlari bo’lib, dastlabki tenglamaning chiziqli bog’lanmagan yechimlari

bo’lib, tenglamaning umumiy yechimi

ko’rinishda bo’ladi va bunda lar ixtiyoriy doimiylar (parametrlar).

Xuddi shu kabi xususiy hosilali differensial tenglama ham odatda cheksiz ko’p sondagi yechimlarga ega bo’lib, umumiy yechim bir qancha ixtiyoriy funksiyalardan bo’g’liq bo’ladi. Ushbu ixtiyoriy funksiyalarni tanlash bilan umumiy yechimdan hosil qilinuvchi yechimlarga xususiy yechimlar deyiladi. Umumiy yechimdan hosil qilib bo’lmaydigan tenglama yechimlariga esa maxsus yechimlar deb ataladi.

4-Misol. , , funksiyalarning har biri xuxusiy hosilali

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama yechimlari bo’ladi. Chunki berilgan funksiyalarning har biridan bo’yicha olingan xususiy hosilalar hammasi ga teng. Qaralayotgan xususiy hosilali differensial tenglamaning umumiy yechimini topish uchun uning o’ng tomonidafi funksiyani har bir tayinlangan da biror olib oraliqda bo’yicha integrallaymiz:

.

Bunda va ixtiyoriy funksiyalar. Dastlab berilgan , , yechimlar umumiy yechimda mos ravishda kabi tanlash natijasida hosil bo’ladi. Demak ular berilgan tenglamaning xususiy yechimlari bo’ladi. Bu tenglama maxsus yechimlarga ega emas.