Ikkita normla bosh to'plamning o'rtacha qiymatlarini taqqoslash Reja

Taqsimotning empirik funksiyasi

Aytaylik, X son belgi chastotalarning statistik taqsimoti ma’lum bo’lsin. N_x-belgining x dan kichik qiymati kuzatilgan kuzatishlar soni; n-tanlanma hajmi. Ravshanki, X<x hodisaning nisbiy chastotasi n_x/n ga teng. Agar x o’zgaradigan bo’lsa, u holda umuman aytganda, nisbiy chastotasi ham o’zgaradi, ya’ni n_x/n nisbiy chastota x ning funksiyasidir. Bu funksiya empirik yo’l bilan topiladiganligi uchun u empirik funksiya deyiladi.

Taqsimotning empirik funksiyasi deb, har bir x qiymati uchun X<x hodisaning ehtimolini aniqlaydigan F*(x) funksiyaga aytiladi. Shunday qilib ta’rifga ko’ra F*(x)=n_x/n.
Bosh to’plam taqsimotining F(x) integral funksiyasini, tanlanma taqsimotining empirik funksiyasidan farq qilib taqsimotning nazariy funksiyasi deyiladi. E mpirik va nazariy funksiyalar orasidagi farq shundaki, F(x) nazariy funksiya X<x hodisa ehtimolini, F*(x) empirik funksiya esa shu hodisaning o’zining nisbiy chastotasini aniqlaydi. Bernulli teorеmasidan kelib chiqadiki, X<x hodisaning nisbiy chastotasi, ya’ni А*(x) shu hodisaning F(x) ehtimoliga ehtimol bo’yicha yaqinlashadi. Boshqacha so’z bilan aytganda F*(x) va F(x) sonlar bir-biridan kam farq qiladi. Shu yerning o’zidanoq, bosh to’plam taqsimotining nazariy funksiyasini taqribiy tasvirlashda tanlanma taqsimotining empirik funksiyasidan foydalanishi maqsadga muvofiq bo’lishi kelib chiqadi.
Bunday xulosa shu bilan ham tasdiqlanadiki, F*(x) funksiya F(x) ning barcha xossalariga ega. Darhaqiqat, F*(x) funksiyaning ta’rifidan uning quyidagi xossalari kelib chiqadi.
1). Empirik funksiya qiymatlari [0,1] kesmaga tegishli;
2). F*(x) - kamaymaydigan funksiya;
3). x₁ - eng kichik varianta bo’lsa, u holda X x₁ da F*(x)=0;
x_k – eng katta varianta bo’lsa, u holda X>x_k da F*(x)=1;
Shunday qilib, tanlanma taqsimotning empirik funksiyasi bosh to’plam taqsimotning nazariy funksiyasini baholash uchun xizmat qiladi.
Misol: Tanlanmaning quyida berilgan taqsimoti bo’yicha uning empirik funksiyasini tuzing.
Variantalar: x_i 2 6 10
Chastotalar: n_i 12 18 30


Yechish: Tanlanma hajmini topamiz: 12+18+30=60.
Eng kichik varianta 2 ga teng, demak: x X 2 da F*(x)=0
X<6 qiymat, xususan, x₁=2 qiymat 12 marta kuzatilgan, demak: 2<X 6 da F*(X)=12/60=0,2.
X<10 qiymatlar, jumladan X₁=2 va X₂=6 qiymatlar 12+18=30 marta kuzatilgan, demak:
6<X 10 da F*(X)=30/60=0,5.
X=10 eng katta varianta bo’lgani uchun X>10 da F*(X)=1.

Bu funksiyaning grafigi quyidagicha: