Ilmiy raxbar: A. Turg’unov Qo‘qon-2023 Mundarija Kirish Asosiy qism

Misol. Besh tomoshabinning besh o’rinni egallash imkoniyatlari (variantlari) sonini toping.
Yechish : Agar tomoshabinlarni a,b,c,d,e harflar bilan belgilasak, u holda T= tomoshabinlar to’plamiga ega bo ‘lamiz. Tomoshabinlarni o’rinlarga joylashtirish imkoniyatlarining (variantlarning) har biriga tomoshabinlar
T to’plami elementlarining qandaydir o’rin almashtirishi mos keladi. T to’plam beshta elementli bo’lgani uchun, 1-teoremaga asosan, bo ‘ladi. Demak, besh tomoshabinning besh o’rinni egallash imkoniyatlari soni 120 ga teng.
O’rinlashtirishlar
n ta elementli to’plam berilgan bo ‘lsin. Shu to’plamning ixtiyoriy m ta elementidan hosil qilingan tartiblangan tuzilmaga (kombinatsiyaga) n ta elementdan m tadan o’rinlashtirish , deb ataladi.
Bu ta ‘rifdan ko’rinib turibdiki, elementlari soni bir xil bo’lgan ikkita har xil o‘rinlashtirishlar bir-biridan elementlari bilan yoki bu elementlarning joylashish tartibi bialan farq qiladilar. Bundan tashqari,n ta elementdan m tadan o‘rinlashtirishlar uchun m≤n bo ‘lishi ham ravshan. Bu yerda qaralayotgan o‘rinlashtirishlar tarkibidagi elementlarning takrorlanmasligini eslatib o ‘tamiz. Shu sababli bunday o’rinlashtirishlarni betakror(takrorli emas) o’rinlashtirishlar deb ham atash mumkin.
Berilgan n ta elementdan m tadan o’rinlashtirishlar soni , odatda, bilan belgilanadi.
Ravshanki, berilgan n ta elementlardan bittadan o’rinlashtirishlar n ta bo ‘ladi, ya ‘ni =n.
n ta elementdan bittadan o’rinlashtirishlar yordamida n ta elementdan ikkitadan o’rinlashtirishlarni quyidagicha tuzish mumkin. n ta elementdan bittadan o’rinlashtirishlarning har biridagi elementdan keyin yoki oldin qolgan (n-1)ta elementlardan ixtiyoriy bittasini joylashtirsa bo ‘ladi. Natijada , ko’paytirish qoidasiga binoan, jami soni =n(n-1)ta bo’lgan n ta elementdan ikkitadan o’rinlashtirishlarni hosil qilamiz.
Teorema. n ta elementdan m tadan o’rinlashtirishlar soni eng kattasi n ga teng bo’lgan m ta ketma-ket natural sonlarning ko’paytmasiga tengdir, ya ‘ni
=n(n-1)...(n-m+1).
Ta ‘rif: n elementni n tadan o’rinlashtirishlar o’rin almashtirishlar deyiladi.
O’rin almashtirishlar P_n bilan belgilanadi.O’rin almashtirishlar sonini o’rinlashtirishdagi k ning o ‘rniga n ni qo ‘yib keltirib chiqarish mumkin.
A = n (n-1)…(n-(k-1)) (1) k = n
A = n (n-1)…(n-(n-1)) = n (n-1) (n-2)…1=1·2·3·…(n-2) (n-1)n = n!
P_n =A = n!
Demak, n elementni o’rinlashtirishlar soni n faktorialga teng.Birdan n gacha bo’lgan sonlar ko’paytmasi factorial deyiladi:P_n = n!
GRUPPALASHLAR
Ta ‘rif: n ta elementni k tadan gruppalashlar deb kamida 1 tadan elementi bilan farq qiluvchi o’rinlashtirishlarga aytiladi.
Teorema: n elementni k tadan gruppalashlar soni
C^k_n = A^k_n / P_k ga teng
Isbot: Dastlab 4 ta elementdan 3 tadan a,b,c,d o’rinlashtirishlar tuzaylik.
abc, abd, acd, bcd
acb, adb, adc, bdc
bac, bad, bca, bda
cab, cad, cbd, cba
cda, cdb, dab, dbc
dac, dca, dba, dcb
4 ta
A³₄ = 24 = 6 · 4
P₃ = 6 = 1 · 2 · 3 = 6
C^k_n = A^k_n / P_k = 4 · 3 · 2 / 1 · 2 · 3 = 24 / 6 = 4
C^k_n = 4
Demak, bu to’g ‘ri bo ‘ladi.
C^k_n = A^k_n / P_k
C^k_n = n (n-1) (n-(k-1) / k!