Ilmiy raxbar: M. Yakubjonova Qo‘qon-2023 Mundarija Kirish Asosiy qism

4-misol. Ushbu

funksiyaning Furye qatori topilsin.
Yuqoridagi formulalardan foydalanib, funksiya­ning Furye koeffitsiyentilarini topamiz:




Demak,

funksiyaning Furye qatori

bo‘ladi.
Aytaylik, funksiya da berilgan bo’lsin. segment nuqtalar yordamida bo‘laklarga ajratilgan. .
Agar har bir da funksiya differensiallanuvchi bo‘lib, nuqtalarda chekli o‘ng
,
va chap

hosilalarga ega bo‘lsa, funksiya da bo‘lakli-differensiallanuvchi deyiladi.
Endi Furye qatorining yaqinlashuvchi bo‘lishi haqidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.
Teorema. davrli funksiya oraliqda bo‘lakli-differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda bu funksiyaning Furye qatori

da yaqinlashuvchi bo‘lib, uning yig‘indisi

ga teng bo‘ladi.
5-misol. Ushbu

funksiyaning Furye qatori topilsin va u yaqinlashishga tekshirilsin.
◄ Bu funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topamiz. Qaralayotgan funksiya juft bo‘lgani uchun

bo‘lib,

bo‘ladi. Demak,
.
Agar funksiya teoremaning shartlarini bajarishini e’tiborga olsak, unda

bo‘lishini topamiz.►
5-§. Toq va juft funksiyalarni Furye qatori
Bizga davri T = 2π bo'lgan funksiya berilgan bo`lsin, ya'ni f (x + 2π) = f (x). Berilgan funksiyaning Furye qatori va koeffitsiyentlari quyidagicha edi:




Quyida biz juft va toq funksiyalarning Furye qatori koeffitsientlarini hisoblash formulalarini keltirib chiqaramiz.
Agar f (x) funksiya [–a; a] da integrallanuvchi bo`lsa, u holda

Ikkinchi integralda x ni -x ga almashtirish bajarib, (5) ga qo`yamiz:
,


f(x) funksiya toq bo’lsa,

f (x) funksiya juft bolsa, ya'ni

Ikkita juft funksiyalarning yoki ikkita toq funksiyalarning ko`paytmasi juft funksiya, juft
va toq funksiyalarning ko`paytmasi toq funksiya ekanligini va (7) ni e'tiborga olgan holda juft va toq funksiyalarning Furye qatori koeffitsientlarini hisoblaymiz.

1. 
   f (x) funksiya davri T = 2πbolgan, [-π, π] da Dirixle shartlarini qanoatlantiradigan juft funksiya bo lsin.