In this final project work it is considered the questions of educating of the theme "Convergence criteria of the series with nonnegative terms" with the approach of innovation technologies

4. Интеграл аломат. Фараз қилайлик, мусбат ҳадли

қатор берилган бўлсин. Айни пайтда, оралиқда берилган функция қуйидаги шартларни қаноатлантирсин:
1) функция да узлуксиз,
2) функция да камаювчи,
3) да
4)
у ҳолда (1) қатор ва интеграл бир пайтда ёки яқинлашади ёки ўзоқлашади.
3-мисол. Ушбу

қатор яқинлашувчиликка текширилсин.
◄ Агар дейилса, унда бу функция оралиқда интеграл аломатда келтирилган барча шартларни қаноатлантиради. Бу функциянинг бошланғич функцияси

бўлади.
Равшанки,

бўлиб, бўлганда

бўлади.
Демак, интеграл аломатга кўра

қатор бўлганда яқинлашувчи, бўлганда узоқлашувчи бўлади. ►
Одатда, қатор умумлашган гармоник қатор дейилади.
Теореманинг шартларидан (1) қуйидаги кўринишга келади
.
бўлганда
, яъни
бўлишини топамиз. Кейинги тенгсизликни оралиқ бўйича интеграллаш натижасида
(6)
бўлиши келиб чиқади.
Энди берилган

қатор билан бирга ушбу
(7)
қаторни қараймиз. Бу қаторнинг қисмий йиғиндиси

бўлади.
Айтайлик, функция оралиқда функциянинг бошланғич функцияси бўлсин:
Уни қуйидагича

ифодалаш мумкин. Натижада

бўлади.
Агар да чекли сонга интилса, (бу ҳолда (7) қаторнинг қисмий йиғиндиси чекли лимитга ега бўлади) унда (7) қатор яқинлашувчи.
Бинобарин, кетма-кетлик юқоридан чегараланган бўлади. (6) муносабатга кўра берилган қаторнинг қисмий йиғиндиларидан иборат кетма-кетлик юқоридан чегараланган бўлиб, мусбат ҳадли қаторларнинг яқинлашувчилиги ҳақидаги теоремага мувофиқ берилган қатор яқинлашувчи бўлади.
Агар да бўлса, берилган қатор узоқлашувчи бўлади.
Теоремани исботидан кўринадики, интеграл аломатни қуйидагича ҳам ифодалаш мумкин
Агар

бўлиб, чекли сон бўлса, қатор яқинлашувчи бўлади, бўлса, қатор узоқлашувчи бўлади.