In this final project work it is considered the questions of educating of the theme "Convergence criteria of the series with nonnegative terms" with the approach of innovation technologies

5. Раабе аломати. Агар (1) мусбат ҳадли
қаторда нинг бирор қийматидан бошлаб, учун

бўлса, (1) қатор яқинлашувчи бўлади,

бўлса, (1) қатор узоқлашувчи бўлади.
4-мисол. Ушбу

қатор яқинлашувчиликка текширилсин.
◄ Бу қатор учун

бўлиб,

бўлади.
Агар , яъни бўлса, берилган қатор яқинлашувчи бўлади.
Агар , яъни бўлса, берилган қатор узоқлашувчи бўлади
Агар бўлса, Раабе аломати берилган қаторнинг яқинлашувчилиги ёки узоқлашувчилиги ҳақида хулоса қилолмайди.►
6. Дарснинг якуни. Талабаларга уй вазифалар бериш.
Резюме технологияси ёрдамида юқорида келтирилган аломатларни ютуқ ва камчиликларини ёзиш ва хулоса қилиш талабаларга мустақил иш сифатида берилади.

2.3. “Мусбат ҳадли сонли қаторларнинг яқинлашиш аломатлари” мавзусидан кейслар

1-Кейс. сонли қатор берилган.
Қуйидаги топшириқларни бажаринг

1. 
   Қаторнинг йигиндиси 0.25 эканлигини кўрсатинг
   
2. 
   Умумий ҳадидан фойдаланиб қайси аломатни қўллаб, яқинлашишини кўрсатиш мумкин
   

Кўрсатма. а) топшириқни бажаришда қуйидаги тасдиқдан фойдаланинг.
Агар барча да ва бўлса, у ҳолда қатор яқинлашувчи бўлади ва унинг йиғиндиси га тенг.
2- Кейс. Қуйидаги сонли қаторлар берилган.
а) б)
в) г)
Қуйидаги топшириқларни бажаринг.
2.1) Даламбер, Коши, Раабе аломатларига мос мисолларни танланг. Бунда нималарга эътибор бердингиз.
2.2) Танлаган аломатингиз билан сонли қаторни яқинлашишга текширинг. Натижа бўлмаса яна 2.1 топшириқдан ишни бошланг.
3-Кейс
Коши аломати Даламбер аломатидан кучли эканлигини исботланг. Бошқача айтганда қуйидаги тасдиқ ўринли:
Агар сонли қатор учун (1), (2) чекли лимитлар мавжуд бўлса, у ҳолда (1)-лимитнинг мавжудлигидан (2)-лимит мавжудлиги келиб чиқади ва бу лимитлар тенг бўлади, лекин тескариси ўринли эмас.
Кейсни ечим вариантини келтирамиз. Дастлаб қуйидаги маълум тасдиқларни келтириб ўтамиз.
1-тасдиқ. (3) тенгликни қаноатлантирувчи мусбат сонлар учун қуйидаги тенгсизлик ўринли:
(4)
2-тасдиқ. та мусбат сонларни ўрта гармониги, ўрта геометриги ва ўрта арифметиги учун қуйидаги тенгсизликлар тўғри:
(5)
3-тасдиқ. Агар барча да ва бўлса, у ҳолда қуйидаги лимит мавжуд ва га тенг
(6)
Энди кейсда келтирилган тасдиқни исботини келтирамиз, яъни мавжудлигидан мавжудлигини келтириб чиқарамиз. (6) га асосан

Бу ерда каби белгилаймиз ва бўлсин. У ҳолда

Демак (1) дан (2) келиб чиқади ва . Яъни Коши аломати кучли экан.
4-Кейс
Сонли қатор ёрдамида R радиусли айлана узунлигини ҳисоблаш қандай амалга оширилади?
Кўрсатма. Айлана ичига мунтазам кўпбурчаклар чизиб, уларни томонлари ёрдамида сонли қатор тузинг ва таъриф ёрдамида қатор йиғиндисини топинг.
5-Кейс.
Сонли қатор ёрдамида R радиусли доиранинг юзини ҳисоблаш қандай амалга оширилади?
Кўрсатма. Доира ичига мунтазам кўпбурчаклар чизиб, уларни юзалари қийматларидан фойдаланиб сонли қатор тузинг ва қатор йиғиндисини топинг.