Индивидуальное задание №1 по курсу Вероятность и статистика Задание по темам раздела «Случайные события» По практическим занятиям -п1, П2, П3

Статистическое, классическое, геометрическое определение вероятности
Вероятностью P(A) события A называется отношение числа элементарных событий m, благоприятствующих событию A, к числу всех элементарных событий n:

Вероятность достоверного события равна 1.
Вероятность невозможного события равна 0.
Вероятность случайного события больше 0 и меньше 1.

Статистическое определение вероятности
Классическое определение вероятности не является пригодным для изучения произвольных случайных событий. Например, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. В таких случаях используется статистическое определение вероятности. Пусть проводится n опытов, событие A наступило m раз, тогда

где m - абсолютная частота события A; P(A) - относительная частота события A.
Вероятностью события А для испытания в данном опыте называется число P(A), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.

Геометрическое определение вероятности
Если в результате проведения испытаний наблюдается произвольный исход из некоторого бесконечного множества, то можно сказать, что пространство элементарных исходов может быть некоторой областью G, а под событием А можно понимать исходы, входящие в область g. Пусть на область G наугад брошена "точка"; приняв равновозможность вариантов, естественно считать, что вероятность попадания в область g можно найти по формуле, называемой геометрической вероятностью:

Области могут быть различной размерности (одно-, двух- или трехмерного измерения) и, в зависимости от выбора размерности меры, могут принимать значения либо длины, либо площади, либо объема. Для конкретного испытания размерность мер g и G должна быть одна.



Определение вероятности когда пространства элементарных событий счётная
Если пространство элементарных событий является счётным, то вероятность события можно определить как отношение числа исходов, которые соответствуют данному событию, к общему числу исходов в пространстве элементарных событий.
Для события A, вероятность P(A) определяется следующим образом:
P(A) = N(A) / N, где N(A) - число исходов, соответствующих событию A, а N - общее число исходов в пространстве элементарных событий.
В данном случае N может быть конечным или бесконечным счётным множеством. Если N бесконечно, то для событий, которые имеют ненулевую вероятность, сумма вероятностей равна единице:
∑ P(A) = 1, где сумма берется по всем возможным событиям в пространстве элементарных событий.
Пример: Пусть пространство элементарных событий состоит из бесконечного числа элементов {1, 2, 3, ...}. Рассмотрим событие A, заключающееся в том, что случайное число из этого пространства элементарных событий будет четным. Тогда число исходов, соответствующих событию A, равно бесконечности (число четных чисел в бесконечном множестве натуральных чисел), а общее число исходов также равно бесконечности. Следовательно, вероятность события A равна P(A) = ∞ / ∞, что не является определенным числом. В этом случае необходимо использовать другие методы, например, понятие плотности вероятности.
Если пространство элементарных событий является счётным, то можно использовать различные комбинаторные методы для определения вероятности событий.

1. 
   Метод классической комбинаторики (правило произведения): Если каждое событие в пространстве элементарных событий имеет одинаковую вероятность, то вероятность события A можно вычислить как отношение числа способов, которыми событие A может произойти, к общему числу возможных исходов.
   

Например, пусть есть n элементов в пространстве элементарных событий, и требуется выбрать k из них. Количество способов выбрать k элементов из n можно вычислить с помощью формулы сочетаний:
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!), где ! обозначает факториал.
Тогда вероятность выбрать k элементов из n будет равна:
P(k) = C(n, k) / 2^n, где 2^n - общее число исходов.

2. 
   Метод геометрической вероятности: Для непрерывных распределений, когда элементарные исходы образуют некоторый интервал или область, вероятность события A можно определить как отношение меры множества A к мере всего пространства элементарных событий.
   

Например, пусть требуется определить вероятность того, что случайно выбранная точка на плоскости будет находиться внутри круга радиуса R. В этом случае мера множества A, соответствующего событию "выбор точки внутри круга", равна площади круга, а мера всего пространства элементарных событий, соответствующего выбору точки на плоскости, равна бесконечности. Тогда вероятность события A будет равна:
P(A) = площадь круга / бесконечность = 0.

3. 
   Метод условной вероятности: Этот метод используется для вычисления вероятности события A при условии, что событие B уже произошло.
   

Например, пусть есть две монеты, выпадающие орлом или решкой с одинаковой вероятностью. Рассмотрим событие A, заключающееся в том, что первая монета выпадет орлом, и событие B, заключающееся в том, что сумма выпавших граней равна двум. Вероятность событие A при условии, что событие B произошло, можно вычислить по формуле условной вероятности:
P(A|B) = P(A и B) / P(B)

В данном случае событие A и B произойдут, если первая монета выпадет орлом, а вторая монета - решкой. Тогда вероятность события A и B будет равна:
P(A и B) = 1/4
Событие B может произойти в четырех случаях: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Только в одном из этих случаев сумма выпавших граней будет равна двум (орел-решка). Тогда вероятность события B равна:
P(B) = 1/4
Таким образом, вероятность события A при условии, что событие B произошло, будет равна:
P(A|B) = P(A и B) / P(B) = (1/4) / (1/4) = 1
То есть, если мы знаем, что сумма выпавших граней равна двум, то вероятность того, что первая монета выпала орлом, равна 1.