Integral tenglamalarni taqribiy yechish usullari

13 – ma’ruza


Integral tenglamalarni taqribiy yechish usullari

Ma`ruza rejasi

1. 
   Birinchi va ikkinchi tur Fredgolm va Volter integral tenglamalari
   
2. 
   Fredgolm teoremasi
   
3. 
   Mexanik kvadraturalar usuli
   
4. 
   Yadroni “ko`paytma” yadro bilan almashtirish yordamida yechish usuli
   
5. 
   Ketma-ket yaqinlashishlar usuli
   

Kalit so`zlar: Fredgolm va Volter integral tenglamalari, integral xad kvadraturasi, “ko`paytma” yadro, ketma-ket yaqinlashish

Quyidagi tenglama

(1)
Fredgolmning birinchi tur tenglamasi,
(2)
- tenglama esa Fredgolmning ikkinchi tur tenglamasi deb ataladi.
Vol’terning birinchi va ikkinchi tur tenglamalari quyidagi ko`rinishlarda bo`ladi
, (3)
, (4)
bunda , – berilgan funksiyalar, – qidirilayotgan funksiya.
Ayrim masalalarni yechishda differentsial tenglamalardan ko`ra integral tenglamalardan foydalanish qulaydir. Misol uchun Koshi masalasining qo`yilishini

integral ko`rinishda ifodalash mumkin
.
Shunday qilib, integral tenglama to`liq qo`yilgan masaladan iborat, uning uchun qo`shimcha (boshlang`ich va chegaraviy) shartlar berilishi kerak emas.
Endi ikkinchi tur tenglamalari uchun masalalarni qaraymiz. Birinchi tur uchun masalalar nokorrekt qo`yilgan.
Agar (2) tenglamaning o`ng tomoni nolga teng bo`lsa, u holda quyidagi ko`rinishda ifodalash mumkin bo`lgan ikkinchi tur birjinsli Fredgolm tenglamasi hosil bo`ladi
, . (5)
bu tenglamaning nol (trivial) yechimi bo`ladi. Uning uchun xos qiymat masalasini qo`yish mumkin. Agar (5) tenglama noldan farqli yyechimga ega bo`lsa, parametrlar yadroning yoki (5) tenglamaning xos qiymatlari deyiladi, ularga mos yechimlar esa xos funksiyalar deyiladi.
Fredgolm teoremasi. Agar son yadroning xos qiymati bo`lmasa, u holda birjinslimas (2) tenglama da yagona uzluksiz yechimga ega bo`ladi, aks holda bu birjinslimas tenglama yoki yechimga ega bo`lmaydi yoki cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi.
Amaliyotda bo`lgan haqiqiy simmetrik yadroli Fredgolmning ikkinchi tur tenglamalari muhim rol o`ynaydi.
Simmetrik yadro uchun quyidagi xossalar o`rinli:

1. 
   Simmetrik yadro xech bo`lmaganda bitta xos qiymatga ega bo`ladi;
   
2. 
   Simmetrik yadroning barcha xos qiymatlari haqiqiydir;
   
3. 
   Simmetrik yadroning xos funksiyalari ortogonal, ya`ni
   

.
(4) Vol’ter tenglamasi xos qiymatlarga ega emas. Unga mos bo`lgandagi birjinsli tenglama faqat trivial yechimga ega. Haqiqatdan, (4) birjinslimas tenglama hamisha ning ixtiyoriy qiymatida yechimga ega va u yagonadir.

1. Mexanik kvadraturlar usuli

Biror-bir sonli integrallash formulasidan foydalanamiz
, (6)
bunda - umuman olganda dan bog`liq.
Quyidagi tenglikga ega bo`lamiz
, (7)
bu erda - (6) kvadratur formulaning qoldiq hadi.
(2) tenglamani qaraymiz. (7) munosabat yordamida uni quyidagicha ifodalash mumkin
, (8)
bu erda qoldiq xad, (6) kvadratur yordamida integralni hisoblashdagi o`zgaruvchining funksiyasidir. (8) tenglamada , deb olib quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz
.
Qoldiq hadni tashlab yuborib chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi (CHATS)ni hosil qilamiz
, (9)
.
Bu sistemani yechish uchun ChATSni yechishning standart usullarini qo`llash mumkin.
(9) tenglamalar sistemasini sistemaning matritsasi simmetrik bo`ladigan ko`rinishda almashtirish mumkin. Buning uchun (9) sistemaning -inchi tenglamasini ga ko`paytiramiz va quyidagi simmetrik matritsali tenglamalar sistemasini olamiz
. (10)
Bunda - simmetrik yadro.
Sistema matritsasini simmetrik holga keltirishning yana bir usuli quyidagicha. (9) da -inchi tenglamani ga ko`paytiramiz va deb olib, quyidagi tenglamalar sistemasi hosil qilinadi
. (11)
bo`lganda sistema matritsasini simmetrik holga keltirishning ikkinchi usuli afzaldir.